Question

20．△ABC中，∠ACB=90°，BC=2AC，以BC为斜边作直角△BCD．

（1）如图1，若CD=BD，点E为CD的中点，连接AE，若AC=2，求AE的长；
（2）如图2，点F为AB的中点，DF交BC于点G，若BD=2CD，AC=2，求BG的长；
（3）如图3，连接AD，若DC=DB，直接写出sin∠DAB的值．

Answer 1

分析 （1）如图1中，作AF⊥CD交DC的延长线于F．利用等腰直角三角形的性质，求出AF、EF的长即可解决问题．
（2）由在Rt△ACB和Rt△BCD中，tan∠ABC=$\frac{AC}{BC}$=$\frac{1}{2}$，tan∠CBD=$\frac{CD}{BD}$=$\frac{1}{2}$，推出tan∠ABC=tan∠CBD，推出∠ABC=∠CBD，由AF=FB，由CF=FB，推出∠FCB=∠FBC=∠CBD，推出CF∥BD，推出$\frac{CF}{BD}$=$\frac{CG}{BG，}$，求出$\frac{CG}{BG}$的比值即可解决问题．
（3）如图3中，作DF⊥AC于F，BE⊥AD于E．设AC=a，利用面积法求出BE、AB即可解决问题．

解答 解：（1）如图1中，作AF⊥CD交DC的延长线于F．

由题意AC=2，BC=2AC=4，
∵DC=DB，∠D=∠ACB=90°，
∴∠DCB=∠FCA=45°，
∴CD=DB=2$\sqrt{2}$，CF=AF=$\sqrt{2}$，
∵CE=ED=$\sqrt{2}$，
∴EF=2$\sqrt{2}$，
在Rt△EFA中，∵∠F=90°，
∴AE=$\sqrt{E{F}^{2}+A{F}^{2}}$=$\sqrt{（\sqrt{2}）^{2}+（2\sqrt{2}）^{2}}$=$\sqrt{10}$．

（2）如图2中，连接CF．

∵在Rt△ACB和Rt△BCD中，tan∠ABC=$\frac{AC}{BC}$=$\frac{1}{2}$，tan∠CBD=$\frac{CD}{BD}$=$\frac{1}{2}$，
∴tan∠ABC=tan∠CBD，
∴∠ABC=∠CBD，
∵AF=FB，
∴CF=FB，
∴∠FCB=∠FBC=∠CBD，
∴CF∥BD，
∴$\frac{CF}{BD}$=$\frac{CG}{BG，}$，
∵AC=2，BC=4，
∴AB=2$\sqrt{5}$，CF=$\sqrt{5}$，CD=$\frac{4\sqrt{5}}{5}$，BD=$\frac{8\sqrt{5}}{5}$，
∴$\frac{CG}{BG}$=$\frac{5}{8}$，
∴BG=$\frac{8}{13}$×4=$\frac{32}{13}$．

（3）如图3中，作DF⊥AC于F，BE⊥AD于E．设AC=a，

则BC=2a，AB=$\sqrt{5}$a，CD=BD=$\sqrt{2}$a，CF=DF=a，
在Rt△ADF中，∵∠F=90°，AF=2a，DF=a，
∴AD=$\sqrt{5}$a，
∵S_{四边形ABCD}=S_△ABC+S_△BCD=S_△ABD+S_△ACD，
∴$\frac{1}{2}$•AC•BC+$\frac{1}{2}$•CD•BD=$\frac{1}{2}$•AD•BE+$\frac{1}{2}$•AC•DF，
∴a•2a+$\sqrt{2}$a•$\sqrt{2}$a=$\sqrt{5}$a•BE+a•a，
∴BE=$\frac{3\sqrt{5}}{5}$a，
∴sin∠BAE=$\frac{BE}{AB}$=$\frac{\frac{3\sqrt{5}}{5}a}{\sqrt{5}a}$=$\frac{3}{5}$．

点评 本题考查三角形综合题、勾股定理、平行线分线段成比例定理、锐角三角函数等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线面构造直角三角形解决问题，学会利用参数解决问题，学会利用面积法求三角形的高，属于中考压轴题．