Question

17．将两个全等的等边三角形△ABD和△BCD按如图所示放置，AB=2，E是边AD上的一个动点，将射线BE绕点B顺时针旋转60°，交DC于点F．
（1）判断△BEF的性状，并说明理由．
（2）设△BEF的面积为S，求S的取值范围．
（3）当△BEF的面积最小值，在BE上是否存在点P，使DP+BP+AP最小？若存在，求出DP+BP+AP的最小值；若不存在，请说明理由．

Answer 1

分析 （1）结论：△BEF是等边三角形．由△EBD≌△FBC，推出BE=BF，由∠EBF=60°，推出△EBF是等边三角形；
（2））①当点E与A重合时，△BEF与△ADB重合，此时得到△BEF面积的最大值．②当BE⊥AD时，得到△BEF面积的最小值，求出最大值以及最小值即可解决问题；
（3）存在．如图，将△ABD沿AB翻折得到△ABD′，E的对应点为E′．易知：PA+PD+PB=AP′+PD+PP′=P′D′+PP′+PD，属于当D、P、P′、D′共线时，PA+PD+PB最小，最小值为线段DD′的长；

解答 解：（1）结论：△BEF是等边三角形．
理由：∵△ABD和△BCD都是等边三角形，
∴AB=BD=BC，∠EDB=∠C=60°，
∵∠EBF=∠DBC=60°，
∴∠EBD=∠FBC，
在△EBD和△FBC中，
$\left\{\begin{array}{l}{BD=BC}\\{∠EBD=∠FBC}\\{∠EBD=∠FBC}\end{array}\right.$，
∴△EBD≌△FBC，
∴BE=BF，
∵∠EBF=60°，
∴△EBF是等边三角形．

（2）①当点E与A重合时，△BEF与△ADB重合，此时得到△BEF面积的最大值为$\frac{\sqrt{3}}{4}$×2²=$\sqrt{3}$，
②当BE⊥AD时，得到△BEF面积的最小值，因为此时BE=$\frac{\sqrt{3}}{2}$×2=$\sqrt{3}$，
所以△BEF面积的最小值为$\frac{\sqrt{3}}{4}$•（$\sqrt{3}$）²=$\frac{3\sqrt{3}}{4}$，
∴$\frac{3\sqrt{3}}{4}$≤S≤$\sqrt{3}$．

（3）存在．如图，将△ABD沿AB翻折得到△ABD′，E的对应点为E′．

易知：PA+PD+PB=AP′+PD+PP′=P′D′+PP′+PD，
∴当D、P、P′、D′共线时，PA+PD+PB最小，最小值为线段DD′的长，最小值为2$\sqrt{3}$．

点评 本题考查三角形综合题、等边三角形的性质和判定、全等三角形的判定和性质、两点之间线段最短等知识，解题的关键是正确寻找全等三角形解决问题，学会利用对称，根据两种之间线段最短解决最值问题，属于中考压轴题．