Question

6．如图，在平面直角坐标系中，直线y=kx+1与x轴、y轴分别交于A、B两点，AB=2，以线段AB为边在第一象限内作正方形ABCD．
（1）求k的值和点A的坐标；
（2）如果在第二象限有一点P（a，$\frac{1}{2}}$），使得△ABP的面积与正方形ABCD的面积相等，求a的值；
（3）是否存在使△QAB是等腰三角形并且在x轴上的点Q？若存在，请写出点O所有可能的坐标；若不存在，请说明理由．

Answer 1

分析 （1）由勾股定理可求得OA的长，则可求得A点坐标，代入直线AB解析式可求得k的值；
（2）设AB的中点为E，过E作EE∥x轴交AB于点F，由点P在直线EF上，过P作PG⊥AB于点G，由面积相等可求得PG的长，再利用直角三角形的性质可求得PF的长，则可求得a的值；
（3）可设Q（x，0），则可表示出AQ、BQ和AB的长，分AQ=BQ、AQ=AB和BQ=AB三种情况，分别得到关于x的方程，可求得x的值，则可求得Q点的坐标．

解答 解：
（1）在y=kx+1中，令x=0可得y=1，
∴B（0，1），即OB=1，
∴OA=$\sqrt{A{B}^{2}-O{B}^{2}}$=$\sqrt{{2}^{2}-{1}^{2}}$=$\sqrt{3}$，
∴A（$\sqrt{3}$，0），
代入直线解析式可得0=$\sqrt{3}$k+1，解得k=-$\frac{\sqrt{3}}{3}$；
（2）如图，设AB的中点为E，
则E（0，$\frac{1}{2}$），
过E作EF∥x轴交AB于点F，
∵P（a，$\frac{1}{2}$），
∴点P在直线EF上，
过P作PG⊥AB于点G，

∵△ABP的面积与正方形ABCD的面积相等，
∴$\frac{1}{2}$AB•PG=AB²，
∴PG=2AB=4，
由（1）可知∠BAO=30°，
∴∠PFG=30°，
∴PF=2PG=8，
由（1）可知直线AB解析式为y=-$\frac{\sqrt{3}}{3}$x+1，当y=$\frac{1}{2}$时，可得$\frac{1}{2}$=-$\frac{\sqrt{3}}{3}$x+1，解得x=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，
∴PF=$\frac{\sqrt{3}}{2}$-a=8，解得a=$\frac{\sqrt{3}}{2}$-8；
（3）设Q（x，0），
∵A（$\sqrt{3}$，0），B（0，1），
∴AQ=|x-$\sqrt{3}$|，BQ=$\sqrt{{x}^{2}+1}$，
∵△ABQ为等腰三角形，
∴有AQ=BQ、AQ=AB和BQ=AB三种情况，
①当AQ=BQ时，即|x-$\sqrt{3}$|=$\sqrt{{x}^{2}+1}$，解得x=$\frac{\sqrt{3}}{3}$，此时Q（$\frac{\sqrt{3}}{3}$，0）；
②当AQ=AB时，即|x-$\sqrt{3}$|=2，解得x=$\sqrt{3}$+2或x=$\sqrt{3}$-2，此时Q（$\sqrt{3}$+2，0）或（$\sqrt{3}$-2，0）；
③当BQ=AB时，则|$\sqrt{{x}^{2}+1}$=2，解得x=±$\sqrt{3}$，此时Q（$\sqrt{3}$，0）或（-$\sqrt{3}$，0）；
综上可知存在满足条件的点Q，其坐标为（$\frac{\sqrt{3}}{3}$，0）或（$\sqrt{3}$+2，0）或（$\sqrt{3}$-2，0）或（$\sqrt{3}$，0）或（-$\sqrt{3}$，0）．

点评 本题为一次函数的综合应用，涉及待定系数法、直角三角形的性质、等腰三角形的性质、方程思想及分类讨论思想等知识点．在（1）中求得OA的长是解题的关键，在（2）中求得点P到直线AB的距离是解题的关键，在（3）中用Q的坐标表示出AQ和BQ的长是解题的关键．本题考查知识点较多，综合性较强，难度适中．