Question

1．（1）阅读理解：如图①，在四边形ABCD中，AB∥DC，E是BC的中点，若AE是∠BAD的平分线，试判断AB，AD，DC之间的等量关系．
解决此问题可以用如下方法：延长AE交DC的延长线于点F，易证△AEB≌△FEC，得到AB=FC，从而把AB，AD，DC转化在一个三角形中即可判断．
AB、AD、DC之间的等量关系为AD=AB+DC；
（2）问题探究：如图②，在四边形ABCD中，AB∥DC，AF与DC的延长线交于点F，E是BC的中点，若AE是∠BAF的平分线，试探究AB，AF，CF之间的等量关系，并证明你的结论．
（3）问题解决：如图③，AB∥CF，AE与BC交于点E，BE：EC=2：3，点D在线段AE上，且∠EDF=∠BAE，试判断AB、DF、CF之间的数量关系，并证明你的结论．

Answer 1

分析 （1）延长AE交DC的延长线于点F，证明△AEB≌△FEC，根据全等三角形的性质得到AB=FC，根据等腰三角形的判定得到DF=AD，证明结论；
（2）延长AE交DF的延长线于点G，利用同（1）相同的方法证明；
（3）延长AE交CF的延长线于点G，根据相似三角形的判定定理得到△AEB∽△GEC，根据相似三角形的性质得到AB=$\frac{2}{3}$CG，计算即可．

解答 解：（1）如图①，延长AE交DC的延长线于点F，
∵AB∥DC，
∴∠BAF=∠F，
∵E是BC的中点，
∴CE=BE，
在△AEB和△FEC中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠BAF=∠F}\\{∠AEB=∠FEC}\\{BE=CE}\end{array}\right.$，
∴△AEB≌△FEC，
∴AB=FC，
∵AE是∠BAD的平分线，
∴∠DAF=∠BAF，
∴∠DAF=∠F，
∴DF=AD，
∴AD=DC+CF=DC+AB，
故答案为：AD=AB+DC；
（2）AB=AF+CF，
证明：如图②，延长AE交DF的延长线于点G，
∵E是BC的中点，
∴CE=BE，
∵AB∥DC，
∴∠BAE=∠G，
在△AEB和△GEC中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠BAE=∠G}\\{∠AEB=∠GEC}\\{BE=CE}\end{array}\right.$，
∴△AEB≌△GEC，
∴AB=GC，
∵AE是∠BAF的平分线，
∴∠BAG=∠FAG，
∵AB∥CD，
∴∠BAG=∠G，
∴∠FAG=∠G，
∴FA=FG，
∴AB=CG=AF+CF；
（3）AB=$\frac{2}{3}$（CF+DF），
证明：如图③，延长AE交CF的延长线于点G，
∵AB∥CF，
∴△AEB∽△GEC，
∴$\frac{AB}{CG}$=$\frac{BE}{EC}$=$\frac{2}{3}$，即AB=$\frac{2}{3}$CG，
∵AB∥CF，
∴∠A=∠G，
∵∠EDF=∠BAE，
∴∠FDG=∠G，
∴FD=FG，
∴AB=$\frac{2}{3}$CG=$\frac{2}{3}$（CF+DF）．

点评 本题考查的是全等三角形的判定和性质、相似三角形的判定和性质，正确作出辅助性、灵活运用相关的性质定理和判定定理是解题的关键．