Question

19．如图，在△ABC中，点O是AC边上一动点，过点O作BC的平行线交∠ACB的角平分线于点E，交∠ACB的外角平分线于点F．
（1）求证：EO=FO；
（2）当点O运动到何处时，四边形CEAF是矩形？请证明你的结论．
（3）在（2）问的结论下，若AE=3，EC=4，AB=12，BC=13，求△ABC的面积．

Answer 1

分析 （1）由平行线的性质和角平分线的定义得出∠OEC=∠OCE，证出EO=CO，同理得出FO=CO，即可得出EO=FO；
（2）由对角线互相平分证明四边形CEAF是平行四边形，再由对角线相等即可得出结论；
（3）先根据勾股定理求出AC，得出△ACE的面积=$\frac{1}{2}$AE×EC，再由勾股定理的逆定理证明△ABC是直角三角形，得出△ABC的面积=$\frac{1}{2}$AB•AC，代入数据即可得到结论．

解答 （1）证明：∵EF∥BC，
∴∠OEC=∠BCE，
∵CE平分∠ACB，
∴∠BCE=∠OCE，
∴∠OEC=∠OCE，
∴EO=CO，
同理：FO=CO，
∴EO=FO；

（2）解：当点O运动到AC的中点时，四边形CEAF是矩形；
理由如下：
由（1）得：EO=FO，
又∵O是AC的中点，
∴AO=CO，
∴四边形CEAF是平行四边形，
∵EO=FO=CO，
∴EO=FO=AO=CO，
∴EF=AC，
∴四边形CEAF是矩形；

（3）解：由（2）得：四边形CEAF是矩形，
∴∠AEC=90°，
∴AC=$\sqrt{A{E}^{2}+E{C}^{2}}$=$\sqrt{{3}^{2}+{4}^{2}}$=5，
△ACE的面积=$\frac{1}{2}$AE×EC=$\frac{1}{2}$×3×4=6，
∵12²+5²=13²，
即AB²+AC²=BC²，
∴△ABC是直角三角形，∠BAC=90°，
∴△ABC的面积=$\frac{1}{2}$AB•AC=$\frac{1}{2}$×12×5=30．

点评 本题考查了矩形的判定与性质、平行线的性质、角平分线、等腰三角形的判定、勾股定理以及面积的计算；熟练掌握矩形的判定与性质，并能进行推理论证与计算是解决问题的关键．