Question

5．如图1，已知正方形ABCD的边CD在正方形DEFG的边DE上，连接AE，GC，易证△DAE≌△DCG，可得结论：①AE=CG；②AE⊥CG．如图2，将正方形DEFG绕点D按顺时针方向旋转，使点E落在BC边上，连接AE和CG，你认为图1中的结论是否仍然成立？若成立，给出证明；若不成立，请说明理由．

Answer 1

分析 延长AE和GC相交于点H，根据正方形的性质可得AD=DC，DE=DG，∠ADC=∠DCB=∠B=∠BAD=∠EDG=90°，再根据同角的余角相等求出∠1=∠2，然后利用“边角边”证明△ADE和△CDG全等，根据全等三角形对应角相等可得∠5=∠4，再根据平角等于180°求出∠6=∠7，然后求出∠EHC=90°，再根据垂直的定义证明即可．

解答 证明：延长AE和GC相交于点H，
∵在正方形ABCD与正方形DEFG中，AD=DC，DE=DG，
∠ADC=∠DCB=∠B=∠BAD=∠EDG=90°，
∴∠1=∠2=90°-∠3，
在△ADE与△CDG中，$\left\{\begin{array}{l}{AD=CD}\\{∠1=∠2}\\{DE=DG}\end{array}\right.$，
∴△ADE≌△CDG，
∴∠5=∠4，AE=CG，
又∵∠5+∠6=90°，
∴∠4+∠7=180°-∠DCE=180°-90°=90°，∠6=∠7，
又∵∠6+∠AEB=90°，∠AEB=∠CEH，
∴∠CEH+∠7=90°，
∴∠EHC=90°，
∴AE⊥GC；

点评 本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定与性质，垂直的定义，熟记性质并确定出全等的三角形是解题的关键，利用阿拉伯数字表示角更形象直观．