Question

13．已知，如图，线段AC，BD交于O，∠AOB为钝角，AB=CD，BF⊥AC于F，DE⊥AC于E，AE=CF，
（1）求证：BO=DO．
（2）若∠AOB为锐角，其他条件不变，请画出图象并判断（1）中的结论是否仍成立．

Answer 1

分析 （1）由AE=CF得AF=EC，可以根据HL得到△ABF≌△CDE即可证明．
（2）结论成立，证明方法类似（1）略．

解答 （1）证明∵AE=CF，
∴AF=EC，
∵BF⊥AC于F，DE⊥AC于E，
∴∠AFB=∠DEC=90°，
在RT△ABF和RT△CDE中，
$\left\{\begin{array}{l}{AB=CD}\\{AF=CE}\end{array}\right.$，
∴△ABF≌△CDE，
∴BF=DE，
在△BFO和△DEO中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠BOF=∠DOE}\\{∠BFO=∠DEO}\\{BF=DE}\end{array}\right.$，
∴△BFO≌△DEO，
∴BO=OD．
（2）如图2结论不变，理由如下，
证明∵AE=CF，
∴AF=EC
∵BF⊥AC于F，DE⊥AC于E，
∴∠AFB=∠DEC=90°，
在RT△ABF和RT△CDE中，
$\left\{\begin{array}{l}{AB=CD}\\{AF=CE}\end{array}\right.$，
∴△ABF≌△CDE，
∴BF=DE，
在△BFO和△DEO中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠BOF=∠DOE}\\{∠BFO=∠DEO}\\{BF=DE}\end{array}\right.$，
∴△BFO≌△DEO，
∴BO=OD．

点评 本题考查全等三角形的判定和性质，解题的关键是两次利用全等三角形，属于中考常考题型．