Question

11．设a₁，a₂…，a₂₀₁₆是从1，0，-1这三个数中取值的一列数，若a₁．+a₂+…+a₂₀₁₆=69，（a₁+1）²+（a₂+1）²+…+（a₂₀₁₆+1）²=4007，则a₁，a₂，…，a₂₀₁₆中有（　　）个0．

• A． 163
• B． 164
• C． 165
• D． 166

Answer 1

分析 由（a₁+1）²+（a₂+1）²+…+（a₂₀₁₆+1）²=4007得a₁²+a₂²+…+a₂₀₁₆²=1853，设数列中1有x个、0有y个，-1有z个，根据题意得出1•x+0•y+（-1）•z=69，1²•x+0²•y+（-1）²•z=1853，解之可得．

解答 解：（a₁+1）²+（a₂+1）²+…+（a₂₀₁₆+1）²=4007，
a₁²+2a₁+1+a₂²+2a₂+1+…+a₂₀₁₆²+2a₂₀₁₆+1=4007，
（a₁²+a₂²+…+a₂₀₁₆²）+2（a₁+a₂+…+a₂₀₁₆）+2016=4007，
∵a₁+a₂+…+a₂₀₁₆=69，
∴a₁²+a₂²+…+a₂₀₁₆²=1853，
设a₁，a₂，…，a₂₀₁₆中1有x个、0有y个，-1有z个，
根据题意可得：1•x+0•y+（-1）•z=69，1²•x+0²•y+（-1）²•z=1853，
即$\left\{\begin{array}{l}{x-z=69}\\{x+z=1853}\end{array}\right.$，
解得：$\left\{\begin{array}{l}{x=961}\\{z=892}\end{array}\right.$，
则y=2016-961-892=163，即0有163个，
故选：A．

点评 本题主要考查三元一次方程组的应用和完全平方公式，根据题意列出关于x、y、z的方程组是解题的关键．