Question

8．如图，在矩形ABCD中，AB=6米，BC=8米，动点P以2米/秒的速度从点A出发，沿AC向点C移动，同时动点Q以1米/秒的速度从点C出发，沿CB项点B移动，设P、Q两点移动t秒（0＜t＜5）后，三角形CPQ的面积为S米²．
（1）求面积S与时间t的关系式；
（2）在P、Q两点移动的过程中，四边形ABQP与△CPQ的面积能否相等？若能，求出此时点P的位置；若不能，请说明理由．
（3）t为何值时，三角形CPQ为直角三角形．

Answer 1

分析 （1）过点P作PE⊥BC于E，利用勾股定理求出AC的长，AP=2t，CQ=t，则PC=10-2t，又PE∥AB，根据平行线分线段成比例列出比例式即可得出PE的长，再由三角形的面积公式即可得出结论；
（2）假设四边形ABQP与△CPQ的面积相等，则S_△PCQ=$\frac{1}{2}$S_△ABC，再判断出方程根的情况即可；
（3）分∠PQC=90°与∠CPQ=90°两种情况进行讨论即可．

解答 解：（1）如图1，过点P作PE⊥BC于E，Rt△ABC中，AC=$\sqrt{{AB}^{2}+{BC}^{2}}$=$\sqrt{{6}^{2}+{8}^{2}}$=10（m）．
由题意知：AP=2t，CQ=t，则PC=10-2t．                         
由AB⊥BC，PE⊥BC，得PE∥AB，
∴$\frac{PE}{AB}$=$\frac{PC}{AC}$，即$\frac{PE}{6}$=$\frac{10-2t}{10}$
∴PE=$\frac{3}{5}$（10-2t）=-$\frac{6}{5}$t+6，
∴S_△PCQ=$\frac{1}{2}$CQ•PE=$\frac{1}{2}$t•（-$\frac{6}{5}$t+6）=-$\frac{3}{5}$t²+3t（0＜t＜5）；

（2）不能．
理由：∵假设四边形ABQP与△CPQ的面积相等，
∴S_△PCQ=$\frac{1}{2}$S_△ABC，即-$\frac{3}{5}$t²+3t=$\frac{1}{2}$×6×8，整理得，t²-5t+40=0．
∵△=（-5）²-160=-135＜0，
∴t无解，
∴边形ABQP与△CPQ的面积不能相等；

（3）如图2，当∠PQC=90°时，PQ⊥BC，
∵AB⊥BC，AB=6，BC=8，QC=t，PC=10-2t，
∴△PQC∽△ABC，
∴$\frac{PC}{AC}$=$\frac{CQ}{BC}$，即$\frac{10-2t}{10}$=$\frac{t}{8}$，解得t=$\frac{40}{13}$（秒）；
如图3，当∠CPQ=90°时，PQ⊥AC，
∵∠ACB=∠QCP，∠B=∠QPC，
∴△CPQ∽△CBA，
∴$\frac{CP}{BC}$=$\frac{CQ}{AC}$，即$\frac{10-2t}{8}$=$\frac{t}{10}$，解得t=$\frac{25}{7}$（秒）．
综上所述，t为$\frac{40}{13}$秒与$\frac{25}{7}$秒时，△CPQ为直角三角形．

点评 本题考查的是四边形综合题，涉及到矩形的性质、勾股定理、根的判别式、三角形的面积公式及平行线分线段成比例等知识，解题关键是对这些知识的熟练掌握及灵活运用，在解答（3）时要注意分类讨论．