Question

3．如图，AB∥CD，AC、BD交于点E，EF∥CD交BC于F．求证：
（1）$\frac{1}{AB}+\frac{1}{CD}=\frac{1}{EF}$；
（2）$\frac{1}{{S}_{△ABC}}+\frac{1}{{S}_{△DBC}}=\frac{1}{{S}_{△EBC}}$．

Answer 1

分析 （1）由AB∥EF∥CD，得到△CEF∽△CAB，△BEF∽BDC，根据相似三角形的性质得到$\frac{EF}{AB}=\frac{FC}{BC}$①，②，化简即可得到结论；
（2）分别作AM⊥BC于M，EN⊥BC于N，DG⊥BC于G，得到AM∥EN∥DG，根据相似三角形的性质结论得到结论．

解答 证明：（1）∵AB∥EF∥CD，
∴△CEF∽△CAB，△BEF∽BDC，
∴$\frac{EF}{AB}=\frac{FC}{BC}$①，②，
①+②得$\frac{EF}{AB}=\frac{FC}{BC}$①，
①+②得$\frac{EF}{AB}+\frac{EF}{CD}=\frac{FC+BF}{BC}$=1，
∴$\frac{1}{AB}+\frac{1}{CD}=\frac{1}{EF}$；

（2）分别作AM⊥BC于M，EN⊥BC于N，DG⊥BC于G，
∴AM∥EN∥DG，
由（1）知$\frac{1}{AM}+\frac{1}{DG}=\frac{1}{EN}$，
∴$\frac{EN}{AM}+\frac{EN}{DG}=1$，
$\frac{{S}_{△EBC}}{{S}_{△ABC}}+\frac{{\;}_{△EBC}}{{S}_{△DBE}}$=$\frac{\frac{1}{2}BC•EN}{\frac{1}{2}BC•AM}+\frac{\frac{1}{2}BC•EN}{\frac{1}{2}BC•DG}$=$\frac{EN}{AM}+\frac{EN}{DG}$=1，
∴$\frac{1}{{S}_{△ABC}}+\frac{1}{{S}_{△DBC}}=\frac{1}{{S}_{△EBC}}$．

点评 本题考查了相似三角形的判定和性质，正确的作出辅助线是解题的关键．