Question

如图，AB∥CD，∠BAC与∠DCA的平分线相交于点G，EG⊥AC于点E，F为AC上的一点，且FA=FG=FC，GH⊥CD于H．下列说法正确的是（　　）
①AG⊥CG；②∠BAG=∠CGE；③S_△AFG=S_△GFC；④若∠EGH：∠ECH=2：7，则∠EGF=50°．

• A、①③④
• B、②③
• C、①②③
• D、①②③④

Answer 1

考点：平行线的性质,三角形的面积

专题：

分析：分别根据平行线的性质、直角三角形的性质对各小题进行逐一分析即可．

解答：解：①中，∵AB∥CD，
∴∠BAC+∠ACD=180°，
∵∠BAC与∠DCA的平分线相交于点G，
∴∠GAC+∠GCA=

1

2

∠BAC+

1

2

∠ACD=

1

2

×180°=90°，
∵∠GAC+∠GCA+AGC=∠180°，
∴AG⊥CG；
②中，根据等角的余角相等，得∠CGE=∠GAC，故∠BAG=∠CGE；
③中，根据三角形的面积公式，
∵AF=CF，
∴S_△AFG=S_△CFG；
④中，根据题意，得：在四边形GECH中，∠EGH+∠ECH=180°．
又∵∠EGH：∠ECH=2：7，
∴∠EGH=180°×

2

9

=40°，∠ECH=180°×

7

9

=140°．
∵CG平分∠ECH，
∴∠FCG=

1

2

∠ECH=70°，
根据直角三角形的两个锐角互余，得∠EGC=20°．
∵FG=FC，
∴∠FGC=∠FCG=70°，
∴∠EGF=50°．
故上述四个都是正确的．
故选D．

点评：本题考查的是平行线的性质，运用了等角的余角相等、四边形的内角和公式、等边对等角、三角形的面积公式、角平分线的概念等知识，难度适中．