题目内容

如图，三角板的直角顶点P在射线OM上，∠AOB=90°，OM是∠AOB的角平分线
（1）若直角边分别与射线OA、OB交于点C、D，
①求证：PC=PD；
②连接CD，交OP于点G，且CG：DG=1：2，OD=1，试求OP的长．
（2）若点P在射线OM上移动，一直角边与射线OB交于点D，OD=1，另一直角边与直线OA、直线OB分别交于点C、E，使以点P、D、E为顶点的三角形与△OCD相似，请直接写出OP的长．
考点：相似形综合题
专题：
分析：（1）①过P分别作PE⊥OB于E，PF⊥OA于F，由角平分线的性质易得PE=PF，然后由同角的余角相等证明∠1=∠2，即可由ASA证明△CFP≌△DEP，从而得证；
②设DP=k，易证CD=
2
k．通过相似三角形（△OPD∽△DPG）的对应边成比例知，
OP
DP
=
OD
DG
，即
OP
k
=
1
2
2
3
k
，所以OP=
3
2
4
；
（2）分两种情况进行讨论：①当C在OA上上时；②当C在OA延长线上时；
解答：（1）①证明：如图1，过P分别作PE⊥OB于E，PF⊥OA于F，
∴∠CFP=∠DEP=90°，
∵OM是∠AOB的平分线，
∴PE=PF，
∵∠FPD-∠1=90°，
又∵∠AOB=90°，
∴∠FPE=90°，
∴∠FPD-∠2=90°，
∴∠1=∠2，
在△CFP和△DEP中，
∠CFP=∠DEP 
PE=PF 
∠1=∠2 
，
∴△CFP≌△DEP（ASA），
∴PC=PD；
②解：设DP=k，易证CD=
2
k．
∵CG：DG=1：2，
∴DG=
2
2
3
k．
由△OPD∽△DPG知，
OP
DP
=
OD
DG
，
∴
OP
k
=
1
2
2
3
k
，
∴OP=
3
2
4
；

（2）解：①若PC与边OA相交，如图2所示．
∵∠PDE＞∠CDO
令△PDE∽△OCD
∴∠CDO=∠PED
∴CE=CD
∵CO⊥ED
∴OE=OD
∴OP=
1
2
ED=OD=1
②若PC与边OA的反向延长线相交，如图3所示．
过P作PH⊥OA，PN⊥OB，垂足分别为H，N，
∵∠PED＞∠EDC
令△PDE∽△ODC
∴∠PDE=∠ODC
∵∠OEC=∠PED
∴∠PDE=∠HCP
∵PH=PN，Rt△PHC≌Rt△PND
∴HC=ND，PC=PD
∴∠PDC=45°
∴∠PDO=∠PCH=22.5°
∴∠OPC=180°-∠POC-∠OCP=22.5°
∴OP=OC．设OP=x，则OH=ON=
2
2
x
∴HC=DN=OD-ON=1-
2
2
x
∵HC=HO+OC=
2
2
x+x
∴1-
2
2
x=
2
2
x+x
∴x=
2
-1
即OP=
2
-1
点评：本题主要考查了直角三角形的性质，全等三角形的判定与性质以及相似三角形的判定和性质等知识点，根据三角形相似或全等得出线段之间以及角之间的关系是解题的关键．
练习册系列答案
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从-2，-
2
3
，
1
2
，1，3五个数中任选1个数，记为a，它的倒数记为b，将a，b代入不等式组
2x＞a-1
x
2
≤
x+b
3
中，能使不等式组至少有两个整数解的概率是
 
．
a-4ab2分解因式结果是
 
．
下列命题中错误的是（　　）
A、任何一个命题都有逆命题
B、一个真命题的逆命题可能是真命题
C、一个定理不一定有逆定理
D、任何一个定理都没有逆定理
拖拉机开始工作时，油箱中有油24L，若每小时耗油4L．则油箱中的剩油量y （L）与工作时间x（小时）之间的函数关系式的图象是（　　）
A、
B、
C、
D、
如图，AB，AC分别是半⊙O的直径和弦，OD⊥AC于点D，过点A作半⊙O的切线AP，AP与OD的延长线交于点P．连接PC并延长与AB的延长线交于点F．
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先化简，再求值：（
1
x-1
-
1
x+1
）•（x-1），其中x=2．
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计算：（
1
2
）-2-
4
+2sin30°．

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