Question

19．（1）商店有A、B、C、D四种饮料，每种饮料数量充足，某同学去该店购买饮量，每种饮料被选中的可能性相同．
①若他去买一瓶饮料，求他买到A饮料的槪率；
②若他两次去买饮料，每次买一瓶，且两次所买饮枓不同，求他恰好买到A和B饮料的概率．
（2）如图，菱形ABCD中，AB=2，∠DAB=60°，点E是AD边的中点，点M是 AB边上一动点（不与点A重合），连接ME并延长交CD的延长线于点N，连接MD、AN．
①求证：四边形AMDN是平行四边形；
②当AM为何值时，四边形AMDN是矩形？

Answer 1

分析 （1）①直接利用概率公式求解；
②先画树状图展示所有12种等可能的结果数，再找出买到A和B饮料的结果数，然后根据概率公式求解；
（2）①先根据菱形的性质得AB∥CD，则利用平行线的性质得∠DNM=∠AMN，于是可利用“AAS”判定△AME≌△DNE，得到AM=DN，加上AM∥DN，则可根据平行四边形的判定方法得到四边形AMDN是平行四边形；
②根据矩形的判定方法，当MN=AD时，即AE=EM时，四边形AMDN是矩形，利用四边形ABCD为菱形可得AD=AB=2，则AE=2，接着判断△AEM为等边三角形，得到AM=2，即当AM为2时，四边形AMDN是矩形．

解答 （1）解：①他买到A饮料的槪率=$\frac{1}{4}$；
②画树状图为：

共有12种等可能的结果数，其中买到A和B饮料的结果数为2，
所以他恰好买到A和B饮料的概率=$\frac{2}{12}$=$\frac{1}{6}$；
（2）①证明：∵四边形ABCD为菱形，
∴AB∥CD，
∴∠DNM=∠AMN，
∵点E是AD边的中点，
∴AE=DE，
在△AME和△DNE中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠AME=∠DNE}\\{∠AEM=∠DEN}\\{AE=DE}\end{array}\right.$，
∴△AME≌△DNE，
∴AM=DN，
而AM∥DN，
∴四边形AMDN是平行四边形；
②解：∵四边形AMDN是平行四边形，
∴当MN=AD时，即AE=EM时，四边形AMDN是矩形，
∵四边形ABCD为菱形，
∴AD=AB=2，
∴AE=2，
而∠DAB=60°，
∴△AEM为等边三角形，
∴AM=2，
即当AM为2时，四边形AMDN是矩形．

点评 本题考查了菱形的性质：菱形具有平行四边形的一切性质；菱形的四条边都相等；菱形的两条对角线互相垂直，并且每一条对角线平分一组对角．也考查了列表法与树状图法、平行四边形和矩形的判定．