Question

4．矩形ABCD中，AB=3，BC=5．E位CD边上一点，将矩形沿直线BE折叠．
（1）使点C落在AD边上，求DE的长．
（2）使点C落在线段BD上C′处，求DE的长．

Answer 1

分析 （1）由折叠可得BC′=BC=5，EC′=EC，根据勾股定理求出AC′，即可求出C′D，设DE=x，则C′E=CE=3-x，然后在Rt△C′DE中运用勾股定理，就可解决问题；
（2）可根据勾股定理求出BD，由折叠可得BC′=BC=5，EC′=EC，∠BC′E=∠C=90°，从而求出C′D，设DE=x，则C′E=CE=3-x，然后在Rt△C′DE中运用勾股定理，就可解决问题．

解答 解：（1）由折叠可得BC′=BC=5，EC′=EC．
∵四边形ABCD是矩形，
∴∠A=∠D=90°，DC=AB=3，AD=BC=5，
∴AC′=4，C′D=1．
设DE=x，则C′E=CE=3-x．
在Rt△C′DE中，
（3-x）²=x²+1²，
解得x=$\frac{4}{3}$，
∴DE的长为$\frac{4}{3}$；
（2）∵四边形ABCD是矩形，
∴∠A=∠C=90°，DC=AB=3，AD=BC=5，
∴BD=$\sqrt{{3}^{2}+{5}^{2}}$=$\sqrt{34}$．
由折叠可得BC′=BC=5，EC′=EC，∠BC′E=∠C=90°，
∴C′D=$\sqrt{34}$-5，∠DC′E=90°
设DE=x，则C′E=CE=3-x．
在Rt△C′DE中，
x²=（3-x）²+（$\sqrt{34}$-5）²，
解得x=$\frac{34-5\sqrt{34}}{3}$，
∴DE的长为$\frac{34-5\sqrt{34}}{3}$．

点评 本题主要考查了矩形的性质、轴对称的性质、勾股定理等知识，关于矩形的折叠问题，通常是转化到一个直角三角形中，运用勾股定理来解决．