Question

7．如图，在?ABCD中，E，F是对角线AC上两点
（1）若AE=CF，则四边形DEBF是平行四边形吗？请说明理由；
（2）当BE与DF满足什么条件时，四边形DEBF是平行四边形？请说明理由．

Answer 1

分析 （1）由平行四边形的性质得出OA=OC，OB=OD，再由已知条件得出OE=OF，即可得出结论；
（2）由平行四边形的性质得出OB=OD，由平行线的性质得出∠BEF=∠DFE，由AAS证明△BOE≌△DOF，得出对应边相等，即可得出结论．

解答 解：（1）四边形DEBF是平行四边形；理由如下：连接BD，如图所示：
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴OA=OC，OB=OD，
∵AE=CF，
∴OE=OF，
∴四边形DEBF是平行四边形．
（2）当BE∥DF时，四边形DEBF是平行四边形；理由如下：
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴OB=OD，
∵BE∥DF，
∴∠BEF=∠DFE，
在△BOE和△DOF中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠BEF=∠DFE}&{\;}\\{∠BOE=∠DOF}&{\;}\\{OB=OD}&{\;}\end{array}\right.$，
∴△BOE≌△DOF（AAS），
∴BE=DF，
又∵BE∥DF，
∴四边形DEBF是平行四边形．

点评 本题考查了平行四边形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、平行线的性质；熟练掌握平行四边形的判定与性质，证明三角形全等是解决问题（2）的关键．