Question

如图1，四边形ABCD是正方形，G是CD边上的一个动点（与C，D不重合），以CG为一边在正方形ABCD外作正方形CEFG，连结BG，DE．

（1）猜想图1中线段BG，DE的数量关系及所在直线的位置关系（不必证明）；
（2）将图1中的正方形CEFG绕点C按顺时针（或逆时针）方向任意旋转角度α；得到图2，图3．请你通过观察、测量等方法判断（1）中所得到的结论是否仍然成立，并选取图2证明你的判断．

Answer 1

考点：正方形的性质,全等三角形的判定与性质

专题：证明题

分析：（1）根据全等三角形结合图形判断出BG和DE相等且互相垂直；
（2）根据正方形的性质可得BC=CD，CE=CG，∠BCD=∠ECG=90°，然后求出∠BCG=∠DCE，再利用“边角边”证明△BCG和△DCE全等，根据全等三角形对应边相等可得BG=DE，全等三角形对应角相等可得∠CBG=∠CDE，然后求出∠DOH=90°，再根据垂直的定义证明即可．

解答：（1）解：BG=DE，BG⊥DE；

（2）证明：∵四边形ABCD是正方形，四边形CEFG是正方形，
∴BC=CD，CE=CG，∠BCD=∠ECG=90°，
∴∠BCD+∠DCG=∠ECG+∠DCG，
即∠BCG=∠DCE，
在△BCG和△DCE中，

BC=CD ∠BCG=∠DCE CE=CG

，
∴△BCG≌△DCE（SAS），
∴BG=DE，∠CBG=∠CDE，
∵∠CBG+∠BHC=90°，∠BHC=∠DHO（对顶角相等），
∴∠CDE+∠DHO=90°，
在△DHO中，∠DOH=180°-（∠CDE+∠DHO）=180°-90°=90°，
∴BG⊥DE．

点评：本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定与性质，熟记性质并准确识图确定出三角形全等的条件是解题的关键，也是本题的难点．