Question

1．如图，四边形ABCD为矩形，AC为对角线，AB=6，BC=8，点M是AD的中点，P、Q两点同时从点M出发，点P沿射线MA向右运动；点Q沿线段MD先向左运动至点D后，再向右运动到点M停止，点P随之停止运动．P、Q两点运动的速度均为每秒1个单位．以PQ为一边向上作正方形PRLQ．设点P的运动时间为t（秒），正方形PRLQ与△ABC重叠部分的面积为S．
（1）当点R在线段AC上时，求出t的值．
（2）求出S与t之间的函数关系式，并直接写出取值范围．（求函数关系式时，只须写出重叠部分为三角形时的详细过程，其余情况直接写出函数关系式．）
（3）在点P、点Q运动的同时，有一点E以每秒1个单位的速度从C向B运动，当t为何值时，△LRE是等腰三角形．请直接写出t的值或取值范围．

Answer 1

分析 （1）根据三角形相似可得$\frac{RP}{AP}=\frac{CD}{AD}$，即$\frac{2t}{4-t}=\frac{6}{8}$，解答即可；
（2）根据点P和点Q的运动情况分情况讨论解答即可；
（3）根据△LRE是等腰三角形满足的条件．

解答 解：（1）当点R在线段AC上时，应该满足：$\frac{RP}{AP}=\frac{DC}{AD}$，
设MP为t，则PR=2t，AP=4-t，
∴可得：$\frac{RP}{AP}=\frac{CD}{AD}$，即$\frac{2t}{4-t}=\frac{6}{8}$，
解得：t=$\frac{12}{11}$；
（2）当$0＜t≤\frac{12}{11}$时，正方形PRLQ与△ABC没有重叠部分，所以重叠部分的面积为0；
当$\frac{12}{11}＜t≤\frac{12}{5}$时，正方形PRLQ与△ABC重叠部分的面积为直角三角形KRW的面积=$\frac{1}{2}×（\frac{11}{4}t-3）×\frac{4}{3}×（\frac{11}{4}t-3）=\frac{121}{24}{t}^{2}-11t+6$，
$S=\frac{121}{24}{t}^{2}-11t+6$；
当$\frac{12}{5}＜t≤3$时，正方形PRLQ与△ABC重叠部分的面积=$\frac{1}{2}$×[2t-$\frac{3}{4}$（4+t）+2t-$\frac{3}{4}$（4-t）]•2t=4t²-6t．
当3＜t≤4时，正方形PRLQ与△ABC重叠部分的面积=$\frac{1}{2}$×（12-2t）×2t=-2t²+12t．
当4＜t≤8时，正方形PRLQ与△ABC重叠部分的面积为S=$-\frac{3}{8}{t}^{2}+3t+18$；
综上所述S与t之间的函数关系式为：S=$\left\{\begin{array}{l}{0}&{（0＜t≤\frac{12}{11}）}\\{\frac{121}{24}{t}^{2}-11t+6}&{（\frac{12}{11}＜t≤\frac{12}{5}）}\\{4{t}^{2}-6t}&{（\frac{12}{5}＜t≤3）}\\{-2{t}^{2}+12t}&{（3＜t≤4）}\\{-\frac{3}{8}{t}^{2}+3t+18}&{（4＜t≤8）}\end{array}\right.$．
（3）在点P、点Q运动的同时，有一点E以每秒1个单位的速度从C向B运动，
①当点E是BC的中点时，点E在LR的中垂线线上时，EL=ER．此时t=4s，△LRE是等腰三角形；
当点E与点B重合时，点E在LR的中垂线线上时，EL=ER．此时t=8s，△LRE是等腰三角形；
综上所述，t的取值范围是4≤t≤8；
②当EL=LR时，如图所示：

LR=2t，CF=NL=4-t，则EF=2t-4．FL=CN=6-2t，
则在直角△EFL中，由勾股定理得到：EL²=EF²+FL²=（2t-4）²+（6-2t）²．
故由EL=LR得到：EL²=LR²，即4t²=10t²-40t+52，
整理，得
t²-10t+13=0，
解得 t₁=5+2$\sqrt{3}$（舍去），t₂=5-2$\sqrt{3}$．
所以当t=5-2$\sqrt{3}$（s）时，△LRE是等腰三角形；
同理，当ER=LR时，$t=\frac{13}{6}$．
综上所述，t的取值范围是4≤t≤8时，△LRE是等腰三角形；当t=4s，或t=8s或$t=\frac{13}{6}$s或$t=5-2\sqrt{3}$s时，△LRE是等腰三角形．

点评 本题是矩形的判定和性质以及三角形中的动点问题，解决问题时，一定要变动为静，将其转化为常见的几何问题，再进行解答．