Question

5．小明在研究由矩形纸片折叠等边三角形之后，经过探究，他用圆形纸片也折叠出了等边三角形，以下是他的折叠过程：第一步：将圆形纸片沿直径AM对折，然后打开；第二步：将纸片沿折痕BC翻折使点M落在圆心I处，然后打开，连接AB、AC．

（1）在图③中BC与IM的位置关系是互相垂直平分；
（2）小明折叠出的△ABC是等边三角形吗？请你说明理由．

Answer 1

分析 （1）利用折叠的性质易得IM垂直平分BC，BC垂直平分IM，即BC和IM互相垂直平分；
（2）连结IB、BM、MC，如图，由BC和IM互相垂直平分可判断四边形BMCI为菱形，易得△IBM和△TMC为等边三角形，则∠BIM=∠CIM=60°，然后根据圆周角定理得到∠BAC=$\frac{1}{2}$∠BIC=60°，加上AB=AC，于是可判断△ABC为等边三角形．

解答 解：（1）∵圆形纸片沿直径AM对折，
∴IM垂直平分BC，
∵纸片沿折痕BC翻折使点M落在圆心I处，
∴BC垂直平分IM，
即BC和IM互相垂直平分；
故答案为互相垂直平分；
（2）△ABC为等边三角形．理由如下：
连结IB、BM、MC，如图，
∵BC和IM互相垂直平分，
∴四边形BMCI为菱形，
∴IB=BM=MC=IC，
∴IB=BM=MC=IC=IM，
∴△IBM和△TMC为等边三角形，
∴∠BIM=∠CIM=60°，
∴∠BAC=$\frac{1}{2}$∠BIC=60°，
而AM垂直平分BC，
∴AB=AC，
∴△ABC为等边三角形．

点评 本题考查了折叠的性质：折叠是一种对称变换，它属于轴对称，折叠前后图形的形状和大小不变，位置变化，对应边和对应角相等．也考查了等边三角形的判定．