Question

已知关于x的一元二次方程2x²+4x+k-1=0有实数根，k为正整数．
（1）求k的值
（2）当此方程有两个非零的整数根时，将关于x的二次函数y=2x²+4x+k-1的图象向右平移1个单位，向下平移2个单位，求平移后的图象的解析式．

Answer 1

考点：根的判别式,二次函数图象与几何变换

专题：

分析：（1）根据一元二次方程2x²+4x+k-1=0有实数根，可推△≥0，求出k≤3．又因为k为正整数，可确定k=1或2或3．
（2）分别把k=1或2或3代入方程2x²+4x+k-1=0，解得结果进行分析，只有x=-1为所求，进一步将关于x的二次函数y=2x²+4x+k-1的图象向右平移1个单位，向下平移2个单位，得出函数解析式即可．

解答：解：（1）∵方程2x²+4x+k-1=0有实数根，
∴△=4²-4×2×（k-1）≥0，
∴k≤3．
又∵k为正整数，
∴k=1或2或3．
（2）当此方程有两个非零的整数根时，
当k=1时，方程为2x²+4x=0，解得x₁=0，x₂=-2；不合题意，舍去．
当k=2时，方程为2x²+4x+1=0，解得x₁=-1+

2

2

，x₂=-1-

2

2

；不合题意，舍去．
当k=3时，方程为2x²+4x+2=0，解得x₁=x₂=-1；符合题意．
因此y=2x²+4x+2的图象向右平移1个单位，向下平移2个单位，得出y=2x²-2．

点评：此题考查了一元二次方程根的判别式和二次函数平移的性质，求得方程的整数根是解决问题的关键．