Question

19．如图，在矩形ABCD中，AB=4，AD=2，M是AD边的中点，N是AB边上的一动点，将△AMN沿MN所在直线翻折得到△A'MN，连接A'C．在MN上存在一动点P．连接A'P、CP，则△A'PC周长的最小值是$\sqrt{17}$-1+2$\sqrt{5}$．

Answer 1

分析 分两步讨论：①先确定点P的位置，当A、P、C三点共线时，AP+PC有最小值，
②当M、A′、C三点共线时，A′C有最小值，确定动点N的位置；
再计算此时的周长即可．

解答 解：分两步：
①连接AP，则AP=AP′，
∴△A'PC周长=A′P+PC+A′C=AP+PC+A′C，
∵AP+PC＞AC，
当A、P、C三点共线时，AP+PC有最小值，是AC的长，
所以AC与MN的交点就是点P，
由勾股定理得：AC=$\sqrt{{2}^{2}+{4}^{2}}$=2$\sqrt{5}$，
②连接CM，
∵A′C＞CM-A′M，
∴当M、A′、C三点共线时，A′C有最小值，
此时，∵M是AD的中点，
∴AM=DM=1，
∴MC=$\sqrt{{4}^{2}+{1}^{2}}$=$\sqrt{17}$，
由折叠得：AM=A′M=1，
∴A′C=MC-A′M=$\sqrt{17}$-1，
∴△A'PC周长的最小值是：$\sqrt{17}$-1+2$\sqrt{5}$，
故答案为：$\sqrt{17}$-1+2$\sqrt{5}$．

点评 本题考查了轴对称-最短路径问题和矩形的性质，有难度，还考查了两点之间线段最短，或利用三角形的三边关系来确定动点的位置．