Question

3．如图，已知△ABC是等边三角形，以AC为直径的⊙O分别交AB，BC于点D，E，点F在AB的延长线上，2∠BCF=∠BAC．
（1）求∠ADE的度数．
（2）求证：直线CF是⊙O的切线．

Answer 1

分析 （1）根据圆内接四边形的对角互补可以求得∠ADE的度数．
（2）欲证明直线CF是⊙O的切线，只需推知∠ACF=90°．

解答 解：（1）∵△ABC是等边三角形，
∴∠ACB=∠ACE=60°，
∴∠ADE=180°-∠ACE=120°；

（2）∵⊙O的直径是AC，
∴∠AEC=90°，即AE⊥BC．
又∵AB=AC，
∴∠BAE=∠CAE．
∵2∠BCF=∠BAC，
∴∠BCF=∠CAE．
∵∠CAE+∠ECA=90°，
∴∠BCF+∠ECA=90°，即∠ACF=90°．
又AC是直径，
∴直线CF是⊙O的切线．

点评 本题考查了切线的性质，圆周角定理，等边三角形的性质．切线必须满足两个条件：a、经过半径的外端；b、垂直于这条半径，否则就不是圆的切线．