Question

2．在△ABC中，已知AC⊥BC，AC=12cm，BC=5cm，∠ACB的平分线交AB于点T，则BT的长为$\frac{65}{17}$．

Answer 1

分析 如图，作TE⊥BC于E，TF⊥AC于F．由CT平分∠ACB，推出TE=TF，由$\frac{{S}_{△BCT}}{{S}_{△ACT}}$=$\frac{\frac{1}{2}•BC•ET}{\frac{1}{2}•AC•TF}$=$\frac{BT}{TA}$，推出$\frac{BT}{TA}$=$\frac{5}{12}$，∵AB=$\sqrt{{5}^{2}+1{2}^{2}}$=13，推出BT=$\frac{5}{17}$•AB，由此即可解决问题．

解答 解：如图，作TE⊥BC于E，TF⊥AC于F．

∵CT平分∠ACB，
∴TE=TF，
∵$\frac{{S}_{△BCT}}{{S}_{△ACT}}$=$\frac{\frac{1}{2}•BC•ET}{\frac{1}{2}•AC•TF}$=$\frac{BT}{TA}$，
∴$\frac{BT}{TA}$=$\frac{5}{12}$，∵AB=$\sqrt{{5}^{2}+1{2}^{2}}$=13，
∴BT=$\frac{5}{17}$•AB=$\frac{65}{17}$，
故答案为$\frac{65}{17}$．

点评 本题考查勾股定理、角平分线的性质定理、三角形的面积等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，学会利用面积法证明线段之间的关系，属于中考常考题型．