Question

5．阅读理解
在⊙I中，弦AF与DE相交于点Q，则AQ•QF=DQ•QE．你可以利用这一性质解决问题．
问题解决
如图，在平面直角坐标系中，等边△ABC的边BC在x轴上，高AO在y轴的正半轴上，点Q（0，1）是等边△ABC的重心，过点Q的直线分别交边AB、AC于点D、E，直线DE绕点Q转动，设∠OQD=α（60°＜α＜120°），△ADE的外接圆⊙I交y轴正半轴于点F，连接EF．
（1）填空：AB=2$\sqrt{3}$；
（2）在直线DE绕点Q转动的过程中，猜想：$\frac{AD}{DQ}$与$\frac{AE}{QE}$的值是否相等？试说明理由．
（3）①求证：AQ²=AD•AE-DQ•QE；
②记AD=a，AE=b，DQ=m，QE=m（a、b、m、n均为正数），请直接写出mn的取值范围．

Answer 1

分析 （1）如图1，连接BQ，由点Q（0，1）是等边△ABC的重心，得到AQ=BQ=2OQ=2，∠QBO=30°，根据等边三角形的性质即可得到结论；
（2）根据等边三角形的性质得到∠DAF=∠FAE，根据相似三角形的性质得到$\frac{AD}{DQ}$=$\frac{AF}{EF}$，根据相似三角形的性质得到$\frac{AF}{EF}$=$\frac{AE}{QE}$，等量代换即可得到结论；
（3）①由相似三角形的性质得到$\frac{AD}{AQ}=\frac{AF}{AE}$，根据线段的和差得到AD•AE=（AQ+QF）•AQ，化简即可得到结论；②如图2，过点E作ET⊥AB于T，解直角三角形得到E=AE•sin60°=$\frac{\sqrt{3}}{2}$b，求得S_△ADE=$\frac{\sqrt{3}}{4}$ab，当α=90°时，此时DE∥x轴，S_△ADE最小，根据相似三角形的性质得到$\frac{DE}{BC}=\frac{AQ}{AO}=\frac{2}{3}$，得到$\frac{{{S_{△ADE}}}}{{3\sqrt{3}}}=\frac{4}{9}$${S_{△ADE}}=\frac{4}{9}×3\sqrt{3}=\frac{{4\sqrt{3}}}{3}$，当α=120°时，此时DE经过点C，即点E和点C重合，S_△ADE最大，根据三角形的面积得到$\frac{16}{3}≤ab≤6$，代入化简即可得到结论．

解答 解：（1）如图1，连接BQ，
∵点Q（0，1）是等边△ABC的重心，
∴AQ=BQ=2OQ=2，∠QBO=30°，
∴AO=3，
∴AB=sin60°•AO=2$\sqrt{3}$；
故答案为：2$\sqrt{3}$；

（2）相等，
理由：∵AO为等边△ABC的高，∴AO平分∠BAC，
∴∠DAF=∠FAE，又∠ADE=∠AFE，
∴△ADQ∽△AFE，
∴$\frac{AD}{DQ}$=$\frac{AF}{EF}$，
∵∠QEF=∠OAE，∠AFE=∠QFE，
∴△AFE∽△QEF，
∴$\frac{AF}{EF}$=$\frac{AE}{QE}$，
∴$\frac{AD}{DQ}$=$\frac{AE}{QE}$；
（3）①∵△ADQ∽△AFE，
∴$\frac{AD}{AQ}=\frac{AF}{AE}$，∴AD•AE=AF•AQ，即AD•AE=（AQ+QF）•AQ，
∴AD•AE=AQ²+AQ•QF，∵AQ•QF=DQ•QE，
∴AD•AE=AQ²+DQ•QE，
即AQ²=AD•AE-DQ•QE；
②如图2，过点E作ET⊥AB于T，
在Rt△AET中，∠EAT=60°，ET=AE•sin60°=$\frac{\sqrt{3}}{2}$b，S_△ADE=$\frac{1}{2}$AD•ET=$\frac{1}{2}$AD•$\frac{\sqrt{3}}{2}$AE=$\frac{\sqrt{3}}{4}$AD•AE=$\frac{\sqrt{3}}{4}$ab，
当α=90°时，此时DE∥x轴，S_△ADE最小，
∴△ADE∽△ABC，
∴$\frac{DE}{BC}=\frac{AQ}{AO}=\frac{2}{3}$，
∴$\frac{{{S_{△ADE}}}}{{{S_{△ABC}}}}={（{\frac{DE}{BC}}）^2}=\frac{4}{9}$，
又∵S_△ABC=$\frac{\sqrt{3}}{4}$×（2$\sqrt{3}$）²=3$\sqrt{3}$，
∴$\frac{{{S_{△ADE}}}}{{3\sqrt{3}}}=\frac{4}{9}$${S_{△ADE}}=\frac{4}{9}×3\sqrt{3}=\frac{{4\sqrt{3}}}{3}$，
当α=120°时，此时DE经过点C，即点E和点C重合，S_△ADE最大，
∴S_△ADE=$\frac{1}{2}$S_△ABC=$\frac{1}{2}$×3$\sqrt{3}$=$\frac{3\sqrt{3}}{2}$，
∴$\frac{{4\sqrt{3}}}{3}≤{S_{△ADE}}≤\frac{{3\sqrt{3}}}{2}$，即$\frac{{4\sqrt{3}}}{3}≤\frac{{\sqrt{3}}}{4}ab≤\frac{{3\sqrt{3}}}{2}$，
∴$\frac{{4\sqrt{3}}}{3}≤\frac{{\sqrt{3}}}{4}ab≤\frac{{3\sqrt{3}}}{2}$，$\frac{16}{3}≤ab≤6$，
由①证得：AQ²=AD•AE-DQ•QE，即2²=ab-mn，
∴ab=mn+4，
∴$\frac{16}{3}$≤mn+4＜6，
即$\frac{4}{3}$≤mn＜2．

点评 本题考查了等边三角形的性质，圆周角定理，相似三角形的判定和性质，三角形面积的计算，旋转的性质，正确的作出辅助线构造直角三角形是解题的关键．