Question

13．抛物线y=x²+（k-2）x+1与x轴交于A（a，0）、B（b，0）两点．抛物线的顶点是M，若等式k²-（a²+ka+1）（b²+kb+1）=0成立．
（1）求k值；
（2）抛物线是否存在一个N点，使△ABN的面积为4$\sqrt{3}$，求N的坐标．

Answer 1

分析 （1）把A（a，0）、B（b，0）代入y=x²+（k-2）x+1得，a²+（k-2）a+1=0，b²+（k-2）b+1=0，则a²+ak+1=2a，b²+bk+1=2b，ab=1，代入等式即可求得k的值；
（2）根据三角形的面积公式求得三角形的高，即N的纵坐标，代入解析式求得横坐标．

解答 解：（1）把A（a，0）、B（b，0）代入y=x²+（k-2）x+1得a²+（k-2）a+1=0，b²+（k-2）b+1=0，
则a²+ak+1=2a，b²+bk+1=2b，ab=1，
则k²-（a²+ka+1）（b²+kb+1）=0即k²-4ab=0，即k²-4=0，
解得：k=2或-2，
又∵△=（k-2）²-4≥0，
∴k=-2；
（2）抛物线的解析式是y=x²-4x+1，
则a+b=4，ab=1，
AB=$\sqrt{（a+b）^{2}-4ab}$=$\sqrt{16-4}$=2$\sqrt{3}$，
设△ABN中AB边上的高是h，则$\frac{1}{2}$AB•h=4$\sqrt{3}$，
解得：h=4．
当h=4时，x²-4x+1=4，
解得：x=2±$\sqrt{7}$，
则N的坐标是（2+$\sqrt{7}$，4）或（2-$\sqrt{7}$，4）．

点评 本题考查了二次函数与一元二次方程的关系，二次函数与x轴的交点的横坐标就是对应的一元二次方程的解．