Question

8．如图，抛物线y=ax²+bx+c与x轴相交于点A（-1，0）和B（3，0），顶点坐标是（1，-2），观察图形回答下列问题：
（1）AB=4；
（2）当x=1时，y的值最小，最小值是-2；
（3）当x＜-1或x＞3时，y＞0；
（4）当x＜1时，y随x的增大而减小；
（5）该抛物线的解析式为y=$\frac{1}{2}$x²-x-$\frac{3}{2}$．

Answer 1

分析 （1）用B点的横坐标减去A点的横坐标即可得到AB的长；
（2）根据二次函数的性质，由抛物线的顶点坐标可判断函数的最小值；
（3）观察函数图象，写出函数图象在x轴上方所对应的自变量的范围即可；
（4）根据二次函数的性质求解；
（5）利用待定系数法求二次函数解析式．

解答 解：（1）AB=3-（-1）=4；
（2）∵抛物线的顶点为（1，-2），
∴当x=1，y有最小值-2；
（3）观察图象得当x＜-1或x＞3时，y＞0；
（4）∵抛物线的对称轴为直线x=1，
∴当x＜1时，y随x的增大而减小；
（5）设抛物线的解析式为y=a（x+1）（x-3），
把（1，-2）代入得a•2•（-2）=-2，解得a=$\frac{1}{2}$，
抛物线的解析式为y=$\frac{1}{2}$（x+1）（x-3），即y=$\frac{1}{2}$x²-x-$\frac{3}{2}$．
故答案为4；1，-2；-1，3；＜1；y=$\frac{1}{2}$x²-x-$\frac{3}{2}$．

点评 本题考查了抛物线与x轴的交点：把求二次函数y=ax²+bx+c（a，b，c是常数，a≠0）与x轴的交点坐标转化为解关于x的一元二次方程；从二次函数的交点式：y=a（x-x₁）（x-x₂）（a，b，c是常数，a≠0）中可直接得到抛物线与x轴的交点坐标（x₁，0），（x₂，0）．也考查了二次函数的性质．