Question

3．如图，在△ABC中，∠CAB的平分线AD与BC的垂直平分线DG交于点D，过D作DE⊥AB于点E，DF⊥AC，交AC的延长线于点F．
（1）求证：BE=CF；
（2）若AB=a，AC=b，求AE，BE的长．

Answer 1

分析 （1）连接BD，CD．利用垂直平分线的性质得出DB=DC，证得Rt△DCF≌Rt△DBE，得出结论；
（2）首先证得Rt△AED≌Rt△AFD，得到AE=AF，然后利用（1）结论，根据线段的和与差得出答案即可．

解答 （1）证明：连接BD，CD，
∵点D在BC的垂直平分线上，
∴DB=DC，
∵点D在∠BAC的平分线上，DE⊥AB，DF⊥AC，
∴DE=DF．
在Rt△DCF与Rt△DBE中，
$\left\{\begin{array}{l}{DE=DF}\\{DB=DC}\end{array}\right.$，
∴Rt△DCF≌Rt△DBE（HL），
∴CF=BE；

（2）解：∵点D在∠BAC的平分线上，DE⊥AB，DF⊥AC，
∴DE=DF．
在Rt△AED与Rt△AFD中，
$\left\{\begin{array}{l}{DE=DF}\\{AD=AD}\end{array}\right.$，
∴Rt△AED≌Rt△AFD（HL），
∴AE=AF，
∵AB=a，AC=b，CF=BE，AE=AF=AC+CF=AC+BE，
∴AE-BE=AC=b，
∵AE+BE=AB=a，
∴BE=$\frac{1}{2}$（a-b），
∴AE=$\frac{1}{2}$（a+b）．

点评 此题考查三角形全等的判定与性质，角平分线的性质，线段垂直平分线的性质，熟练掌握全等三角形的判定和性质是解题的关键．