Question

1．在直角梯形ABCD中，AD∥BC，∠D=90°，AD=6，BC=14，DC=4，边长为2的正方形EFGH自左向右在直线BC上以1个单位/秒的速度运动，H、E、B、C在同一直线上，从E、B重合到E、C重合时停止运动，若运动时间为t秒，连接AC．
（1）经过多少秒时，正方形EFGH的对角线EG所在直线经过点A；
（2）在平移过程中，正方形EFGH与梯形ABCD重叠部分的面积为S，直接写出S与t之间的函数关系式，并写出相应的t的取值范围；
（3）若BC的中点为P，直线HG、EF与折线B-A-C分别交于M、N，是否存在这样的t值，使以P、M、N为顶点的三角形是直角三角形？若存在，求出相应的t值；若不存在，请说明理由．

Answer 1

分析 （1）首先作AP⊥BC于点P，判断出四边形ADCP是矩形，即可推得CP=AD=6，AP=CD=4；然后判断出△APE为等腰直角三角形，求出PE、BE的长度各是多少，即可判断出
经过多少秒时，正方形EFGH的对角线EG所在直线经过点A．
（2）根据题意，分4种情况：①当0≤t≤2时；②当2＜t≤4时；③当4＜t≤6时；④当6＜t≤14时；求出S与t之间的函数关系式，并写出相应的t的取值范围即可．
（3）存在t=5.6，使以P、M、N为顶点的三角形是直角三角形．首先根据点P是BC的中点，求出BP的值；然后根据PN⊥MN，NE⊥BC，可得BN²=BE•BP；最后在直角三角形BNP中，求出BN的值，即可求出BE的值，判断出当t为何值时，以P、M、N为顶点的三角形是直角三角形即可．

解答 解：（1）如图1，作AP⊥BC于点P，，
∵AP⊥BC，∠D=90°，AD∥BC，
∴四边形ADCP是矩形，
∴CP=AD=6，AP=CD=4，
又∵BC=14，
∴BP=14-6=8，
当正方形EFGH的对角线EG所在直线经过点A时，△AEP=45°，
∵∠APE=90°，
∴∠EAP=90°-45°=45°，
∴△APE为等腰直角三角形，
∴PE=AP=4，
∴BE=BP+PE=8+4=12，
∴经过12秒时，正方形EFGH的对角线EG所在直线经过点A．

（2）①当0≤t≤2时，如图2，作AP⊥BC于点P，设EF与AB交于点I，，
由（1），可得
AP=4，BP=14-6=8，
∴tan∠ABP=$\frac{AP}{BP}=\frac{4}{8}=\frac{1}{2}$，
∴IE=BE•tan∠ABP=$\frac{1}{2}$t，
∴S=$\frac{1}{2}BE•IE$=$\frac{1}{2}t•\frac{1}{2}t$=$\frac{1}{4}$t²．

②当2＜t≤4时，如图3，设EF与AB交于点I，GH与AB交于点K，，
∵BE=t，
∴IE=$\frac{1}{2}$BE=$\frac{1}{2}$t，
∵BH=BE-HE=t-2，
∴KH=$\frac{1}{2}$BH=$\frac{1}{2}$（t-2），
∴S=S_{四边形EIKH}=$\frac{1}{2}$（IE+KH）•HE=$\frac{1}{2}×$[$\frac{1}{2}t$$+\frac{1}{2}$（t-2）]×2=t-1．

③当4＜t≤6时，如图4，设GF与AB交于点O，GH与AB交于点K，OQ⊥BC与点Q，，
∵BH=BE-HE=t-2，
∴KH=$\frac{1}{2}$BH=$\frac{1}{2}$（t-2），
∴GK=2-KH=2-$\frac{1}{2}$（t-2）=3-$\frac{1}{2}t$，
∵OQ=EF=2，
∴BQ=2÷$\frac{1}{2}$=4，
∴HQ=BQ-BH=4-（t-2）=6-t，
∴GO=HQ=6-t，
∴S=2×2-$\frac{1}{2}$（3-$\frac{1}{2}$t）（6-t）=-$\frac{1}{4}$t²+3t-5．

④当6＜t≤14时，如图5，，
S=S_{正方形EFGH}=2×2=4．
综上，可得
S=$\left\{\begin{array}{l}{{\frac{1}{4}t}^{2}，0≤t≤2}\\{t-1，2＜t≤4}\\{-{\frac{1}{4}t}^{2}+3t-5，4＜t≤6}\\{4，6＜t≤14}\end{array}\right.$．

（3）存在t=5.6，使以P、M、N为顶点的三角形是直角三角形．
如图6，∠PNM=90°，PN⊥MN，，
∵点P是BC的中点，
∴BP=$\frac{1}{2}BC$=$\frac{1}{2}×14$=7，
∵PN⊥MN，NE⊥BC，
∴BN²=BE•BP，
∵tan∠NBP=$\frac{1}{2}$，
∴BN=2NP，
∴（2NP）²+NP²=BP²=7²=49，
解得NP=$\frac{7}{5}\sqrt{5}$，
∴BN=2NP=2×$\frac{7}{5}\sqrt{5}$=$\frac{14}{5}$$\sqrt{5}$，
又∵BN²=BE•BP，
∴BE=$\frac{{BN}^{2}}{BP}=\frac{{（\frac{14}{5}\sqrt{5}）}^{2}}{7}$=$\frac{\frac{196}{5}}{7}=5.6$，
∴存在t=5.6，使以P、M、N为顶点的三角形是直角三角形．

点评 （1）此题主要考查了相似形综合题，考查了分析推理能力，考查了分类讨论思想的应用，考查了数形结合思想的应用，要熟练掌握．
（2）此题还考查了直角三角形的性质，三角形、梯形的面积的求法，以及正方形的性质和应用，要熟练掌握．