Question

5．如图，DEFG为△ABC的内接矩形，∠A=90°，D在AB上，G在AC上，EF在斜边BC上，AB=3，AC=4．
（1）当矩形DEFG周长为$\frac{27}{4}$时，求BE，FC的长．
（2）当S_△DEB+S_△GFC=$\frac{25}{6}$时，求矩形DEFG的周长．

Answer 1

分析 根据勾股定理得到BC=$\sqrt{A{B}^{2}+A{C}^{2}}$=5，于是得到△ABC三边的比是：AB：AC：BC=3：4：5，根据矩形的性质得到DE=GF，DG∥BC，∠DEF=∠GFC=∠BED=∠GFE=90°，推出△ADG∽△BDE∽△CGF∽△ABC，于是得到△BDE与△CGF与△ADG的相似比都等于3：4：5，
（1）设AD=2x，BD=5y，则DG=5x，DE=4y，BE=3y，GF=DE=4y，CF=$\frac{16}{3}$y，根据已知条件列方程组即可得到结论，
（2）根据已知条件和三角形的面积公式列方程组即可得到结论．

解答 解：∵∠A=90°，AB=3，AC=4，
∴BC=$\sqrt{A{B}^{2}+A{C}^{2}}$=5，
∴△ABC三边的比是：AB：AC：BC=3：4：5，
∵四边形DEFG是矩形，
∴DE=GF，DG∥BC，∠DEF=∠GFC=∠BED=∠GFE=90°，
∴∠AGD=∠C，∠ADG=∠B，
∴△ADG∽△BDE∽△CGF∽△ABC，
∴△BDE与△CGF与△ADG的相似比都等于3：4：5，
（1）设AD=2x，BD=5y，则DG=5x，DE=4y，BE=3y，GF=DE=4y，CF=$\frac{16}{3}$y，
∴$\left\{\begin{array}{l}{3x+5y=3}\\{5x+4y=\frac{27}{8}}\end{array}\right.$，解得：x=y=$\frac{3}{8}$，
∴BE=3y=$\frac{9}{8}$，CF=$\frac{16}{3}$y=2；

（2）∵AB=3，
设AD=2x，BD=5y，则DG=5x，DE=4y，BE=3y，
∴$\left\{\begin{array}{l}{3x+5y=3}\\{\frac{1}{2}×3y•4y+\frac{1}{2}×4y•\frac{16}{3}y=\frac{25}{6}}\end{array}\right.$，
解得：$\left\{\begin{array}{l}{x=\frac{1}{6}}\\{y=\frac{1}{2}}\end{array}\right.$，
∴矩形DEFG的周长=2（5x+4y）=6．

点评 本题考查了相似三角形的判定和性质，矩形的性质，求三角形的面积和矩形的周长，正确的识别图形是解题的关键．