Question

18．四边形ABCD内接于⊙O，BD为其中一条对角线，且∠BAD=2∠BDC．
（1）如图1，求证：BC=CD；
（2）如图2，作CE∥DB，BE⊥CE，连接OD，若OD平分∠ADB，求证：AD=2CE；
（3）如图3，在（2）的条件下，连接AC，若BC=5，AC=11，求四边形ACEB的面积．

Answer 1

分析 （1）与圆内接四边形的性质得出∠A+∠C=180°，由三角形内角和定理得出∠C+∠BDC+∠DBC=180°，得出∠A=∠BDC+∠DBC，再由已知条件证出BDC=∠DBC，即可得出结论；
（2）连接OC交BD于M，延长DO交⊙O于N，由（1）得：CB=CD，得出$\widehat{CB}=\widehat{CD}$，由才知道了得出OC⊥BD，BM=DM=$\frac{1}{2}$BD，∠BMC=90°，证出四边形BECM是矩形，得出BM=CE，由角平分线得出∠ADN=∠BDN，由圆周角定理证出$\widehat{AN}=\widehat{BN}$，由垂径定理得出DN垂直平分AB，证出AD=BD，即可得出结论；
（3）在AC上截取AF=BC=5，连接DF，过D作DG⊥AC于G，过B作BH⊥AC于H，连接OC，如图2所示：由（2）得：AD=BD=2CE，由ASA证明△DAF≌△DBC，得出DF=DC=5，由等腰三角形的性质得出CG=FG=3，求出AG=AF+FG=8，由勾股定理求出DG=4，由三角函数求出tan∠DAG=$\frac{DG}{AG}$=$\frac{1}{2}$，证出∠BAC=∠DAG，得出∠BAC=$\frac{BH}{AH}$=$\frac{1}{2}$，得出AH=2BH，设BH=x，AH=2x，则CH=11-2x，在Rt△BCH中，由勾股定理得出方程，解方程求出BH，求出△ABC的面积，证出CE为⊙O的切线，由弦切角定理得出∠BCE=∠BCA，由三角函数得出BE=$\sqrt{5}$，CE=2$\sqrt{5}$，求出△BCE的面积，得出四边形ACEB的面积=△ABC的面积+△BCE的面积$\frac{157}{5}$．

解答 （1）证明：如图1所示：
∵四边形ABCD内接于⊙O，
∴∠A+∠C=180°，
∵∠C+∠BDC+∠DBC=180°，
∴∠A=∠BDC+∠DBC，
∵∠BAD=2∠BDC，
∴∠BDC=∠DBC，
∴BC=CD；
（2）证明：连接OC交BD于M，延长DO交⊙O于N，如图2所示：
由（1）得：CB=CD，
$\widehat{CB}=\widehat{CD}$，
∴OC⊥BD，
∴BM=DM=$\frac{1}{2}$BD，∠BMC=90°，
∵CE∥DB，
∴∠MCE=180°-90°=90°，
又∵BE⊥CE，
∴∠BEC=90°，
∴四边形BECM是矩形，
∴BM=CE，
∵OD平分∠ADB，
∴∠ADN=∠BDN，
∴$\widehat{AN}=\widehat{BN}$，
∴DN垂直平分AB，
∴AD=BD，
∴AD=2BM=2CE；
（3）解：在AC上截取AF=BC=5，连接DF，过D作DG⊥AC于G，过B作BH⊥AC于H，如图3所示：
由（2）得：AD=BD=2CE，
∵AF=DF，
∴∠DAF=∠ADF，
∵∠DAF=∠DBC，∠BDC=∠DBC，
∴∠DAF=∠ADF=∠BDC=∠DBC，
在△DAF和△DBC中，$\left\{\begin{array}{l}{∠ADF=∠BDC}&{\;}\\{AD=BD}&{\;}\\{∠DAF=∠DBC}&{\;}\end{array}\right.$，
∴△DAF≌△DBC（ASA），
∴DF=DC=5，
∴CG=FG，
∵AC=11，
∴CG=FG=3，
∴AG=AF+FG=8，DG=$\sqrt{{5}^{2}-{3}^{2}}$=4，
∴tan∠DAG=$\frac{DG}{AG}$=$\frac{4}{8}$=$\frac{1}{2}$，
∵BC=CD，
∴$\widehat{BC}=\widehat{CD}$，
∴∠BAC=∠DAG，
∴tan∠BAC=$\frac{BH}{AH}$=$\frac{1}{2}$，
∴AH=2BH，
设BH=x，AH=2x，
∴CH=11-2x，
在Rt△BCH中，BH²+CH²=BC²，
即x²+（11-x）²=5²，
解得：x=4（舍去），或x=$\frac{24}{5}$，
∴BH=$\frac{24}{5}$，
∴△ABC的面积=$\frac{1}{2}$AC•BH=$\frac{1}{2}$×11×$\frac{24}{5}$=$\frac{132}{5}$，
∵OC⊥BD，CE∥BD，
∴OC⊥CE，
∴CE为⊙O的切线，
∴∠BCE=∠BCA，
∴tan∠BCE=$\frac{BE}{CE}$=$\frac{1}{2}$，
∵BC=5，
∴BE=$\sqrt{5}$，CE=2$\sqrt{5}$，
∴△BCE的面积=$\frac{1}{2}$BE•CE=$\frac{1}{2}$×$\sqrt{5}$×2$\sqrt{5}$=5，
∴四边形ACEB的面积=△ABC的面积+△BCE的面积=$\frac{132}{5}$+5=$\frac{157}{5}$．

点评 本题是圆的综合题目，考查了圆内接四边形的性质，等腰三角形的判定，圆心角、弧、弦之间的关系、垂径定理、全等三角形的判定与性质、勾股定理、圆周角定理、切线的判定、弦切角定理、三角函数等知识；本题综合性强，难度较大，需要通过作辅助线才能得出结论．