Question

13．如图，在?ABCD中，AB=15，AC=20，AB⊥AC．点P是射线BC上的一个动点，过点P作MP⊥AP，使点M与点B在直线AP的两侧，且∠PAM=∠CAD，连接MD．当△AMD为等腰三角形时，BP的长是12.5或5或45．

Answer 1

分析 先由两角对应相等的两三角形相似证明出△APM∽△ACD，则AP：AC=AM：AD，即AP：AM=AC：AD，又由∠PAM=∠CAD，得出∠PAC=∠MAD，根据两边对应成比例且夹角相等的两三角形相似即可得到△PAC∽△MAD，相似三角形的形状相同，得出△APC为等腰三角形，再分两种情况进行讨论：①点M在平行四边形内；②点M在平行四边形外；又分两种情况：（i）P在BC上，（ii）P在BC的延长线上．

解答 解：∵∠PAM=∠CAD，∠APM=∠ACD=90°，
∴Rt△APM∽Rt△ACD，
∴AP：AC=AM：AD，即AP：AM=AC：AD，
又∠PAC=∠MAD，
∴△PAC∽△MAD，
∴当△AMD为等腰三角形时，△APC也为等腰三角形．
①当点M在平行四边形内时，如图1．点P只能在EC上．
∵∠APC为钝角，
∴∠PAC=∠PCA，
∴PC=PA，
又∵∠PAB=90°-∠PAC，∠B=90°-∠PCA，
∴∠PAB=∠B，
∴PA=PB，
∴PA=PB=PC=$\frac{1}{2}$BC=12.5，
即BP=12.5；
②当点M在平行四边形外时，
（i）若P在BC上，如图2．点P只能在BE上．
∵AP＜AC，AP＜PC，
∴CA=CP=20，则BP=5；
（ii）若P在BC的延长线上，如图3．
∵AP＞AC，AP＞PC，
∴CA=CP=20，则BP=45．
综上可知，当△AMD为等腰三角形时，BP的长为12.5或5或45．
故答案为：12.5或5或45．

点评 本题考查了平行四边形的性质，解直角三角形，相似三角形的判定与性质，综合性较强，有一定难度．运用数形结合及分类讨论是解题的关键．