Question

20．⊙O是四边形ABCD的外接圆．OB⊥AC．OB与AC相交于点H，BC=2$\sqrt{10}$，AC=CD=12
（1）求⊙O的半径；
（2）求AD的长；
（3）若E为弦CD上的一个动点，过点E作EF∥AC，EG∥AD．EF与AD相交于点F，EG与AC相交于点G．试问四边形AGEF的面积是否存在最大值？若存在，求出最大面积；若不存在，请说明理由．

Answer 1

分析 （1）先根据垂径定理得出直角三角形，进而求出BH，最后用勾股定理即可求出OA；
（2）利用勾股定理先求出OM进而求出AM即可AD的长，
（3）先判断出四边形AGEF是平行四边形，再用三角函数表示出AF和EN，最后用面积公式即可．

解答 解：（1）如图1，连接OA，
∵OB⊥AC，
∴AH=CH=$\frac{1}{2}$AC=6，AB=BC=2$\sqrt{10}$，
根据勾股定理得，BH=$\sqrt{A{B}^{2}-A{H}^{2}}$=2，
在Rt△AOH中，OA²-OH²=AH²，
∴OA²-（OA-2）²=36，
∴OA=10，
∴⊙O的半径为10；
（2）如图2，连接OC，OA，
∵AC=CD，
∴OC⊥AD，
∴AD=2AM，
在RtOAM中，AM²=OA²-OM²=100-OM²，
在Rt△ACM中，AM²=AC²-CM²=AC²-（OA-OM）²=144-（10-OM）²=44+20OM-OM²，
∴100-OM²=44+20OM-OM²，
∴OM=$\frac{14}{5}$，
∴AD=2AM=2$\sqrt{1{0}^{2}-（\frac{14}{5}）^{2}}$=2×$\frac{48}{5}$=$\frac{96}{5}$，
（3）存在面积最大值，
理由：如图2中，在Rt△ACM中，CM=10-$\frac{14}{5}$=$\frac{36}{5}$，AC=12，
∴sin∠CAD=$\frac{CM}{AC}$=$\frac{3}{5}$，
设CG=x，（0＜x＜12）
∴AG=12-x，
∵EG∥AD，
∴$\frac{EG}{AD}=\frac{CG}{AC}$，
∴$\frac{EG}{\frac{96}{5}}=\frac{x}{12}$，
∴EG=$\frac{8}{5}$x，
∵EF∥AC，EG∥AD，
∴四边形AFEG是平行四边形，
∴AF=EG=$\frac{8}{5}$x，EF=AG=12-x，
∵EF∥AC，
∴∠NFE=∠CAD，
如图3，过点E作EN⊥AD，
∴sin∠NFE=$\frac{EN}{EF}$=$\frac{EN}{12-x}=\frac{3}{5}$，
∴EN=$\frac{3}{5}$（12-x），
∴S_{四边形AGEF}=AF×EN=$\frac{8}{5}$x•$\frac{3}{5}$（12-x）=-$\frac{24}{25}$（x-6）²+$\frac{864}{25}$，
当x=6时，S_{四边形AGEF最大}=$\frac{864}{25}$．

点评 此题是圆的综合题，主要考查了勾股定理，锐角三角函数，平行四边形的判定和性质，垂径定理，平行线分线段成比例定理，解本题的关键是求出求出圆的半径，是一道中等难度的中考常考题．