Question

7．如图，在正方形ABCD中，AB=6，点E是AD边上一点AE=2，连接BE，点F是AB边上一动点，将△FBC沿CF翻折后，点B恰好落在BE上的点G处，FC交BE于点O，现将△FOG绕点O旋转得到△F′OG′，射线OG′、射线OF′分别交直线AD于点M、N，当△OMN为等腰三角形时GM=$\frac{6}{5}$$\sqrt{13}$．

Answer 1

分析 如图作OH⊥BC于H，HO的延长线交AD于J，作GK⊥AD于K．在Rt△GMK中，求出KG、KM即可解决问题．

解答 解：如图作OH⊥BC于H，HO的延长线交AD于J，作GK⊥AD于K．，连接GM．

由题意CF⊥BE，∵∠ABE+∠CBE=90°，∠CBE+∠FCB=90°，
∴∠ABE=∠BCF，
在△ABE和△BCF中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠EAB=∠CBF}\\{AB=BC}\\{∠ABE=∠BCF}\end{array}\right.$，
∴△ABE≌△BCF，
∴BF=AE=2，∵BC=6，
∴CF=$\sqrt{{2}^{2}+{6}^{2}}$=2$\sqrt{10}$，
∵$\frac{1}{2}$•CF•OB=$\frac{1}{2}$•BF•BC，
∴OB=OG=$\frac{3}{5}$$\sqrt{10}$，
∵△OBH∽△CFB，
∴$\frac{OB}{CF}$=$\frac{OH}{BC}$=$\frac{BH}{BF}$，
∴OH=$\frac{9}{5}$，BH=AJ=JK=$\frac{3}{5}$，
∵BE=CF=2$\sqrt{10}$，
∴EG=BE=BG=$\frac{4}{5}$$\sqrt{10}$，
由$\frac{KG}{AB}$=$\frac{KE}{AE}$=$\frac{EG}{EB}$，可得KE=$\frac{4}{5}$，KG=$\frac{12}{5}$，
∵△MON是等腰直角三角形，
∴OM=ON，∵OJ⊥MN，
∴OJ=JN=JM=$\frac{21}{5}$，
∴KM=$\frac{21}{5}$-$\frac{3}{5}$=$\frac{18}{5}$，
在Rt△GMK中，GM=$\sqrt{K{G}^{2}+K{M}^{2}}$=$\sqrt{（\frac{12}{5}）^{2}+（\frac{18}{5}）^{2}}$=$\frac{6}{5}$$\sqrt{13}$，
故答案为$\frac{6}{5}$$\sqrt{13}$．

点评 本题考查翻折变换、旋转变换、正方形的性质、全等三角形的判定和性质、等腰直角三角形的性质、平行线的性质、勾股定理、解直角三角形等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，灵活运用相似三角形的性质解决问题，属于中考填空题中的压轴题．