题目内容
19．
已知反比例函数y1=$\frac{k}{x}$和二次函数y2=-x2+bx+c的图象都过点A（-1，2）（1）求k的值及b、c的数量关系式；（用c的代数式表示b）
（2）若两函数的图象除公共点A外，另外还有两个公共点B（m，1）、C（1，n），试在如图所示的直角坐标系中画出这两个函数的图象，并利用图象回答，x为何值时，y1＞y2；
（3）当c值满足什么条件时，函数y2=-x2+bx+c在x≤-$\frac{1}{2}$的范围内随x的增大而增大？
分析 （1）将点A的坐标代入两函数的解析式中即可得出k的值，以及b与c的数量关系．
（2）在（1）中已得出了反比例函数的解析式，那么可根据B，C两点都在反比例函数上可求出B，C的坐标，然后根据B，C的坐标用待定系数法求出抛物线的解析式．进而可根据两函数的解析式来得出函数的图形，以及y1＞y2时，x的取值范围．
（3）由于抛物线开口向下，因此对称轴左边，抛物线上的点都是随x的增大而增大，那么对称轴-$\frac{b}{2a}$≤-$\frac{1}{2}$，然后再根据（1）中b，c的大小关系即可求出c的取值范围．
解答 解：（1）将A（-1，2）代入反比例函数y1=$\frac{k}{x}$中，
可得k=（-1）×2=-2，
将A（-1，2）代入二次函数y2=-x2+bx+c，
可得2=-1-b+c，
即b=c-3．
（2）由题意可知，B的坐标为（-2，1），C的坐标为（1，-2）．
反比例函数的解析式为y1=-$\frac{2}{x}$，
抛物线的解析式为y2=-x2-2x+1．
如图右图：由图可知：当x＜-2，-1＜x＜0和1＜x时，y1＞y2．
（3）∵抛物线开口向下，因此对称轴左边，抛物线上的点都是随x的增大而增大，
即-$\frac{b}{2a}$≤-$\frac{1}{2}$，
∴-$\frac{c-3}{-2}$≤-$\frac{1}{2}$，
解得c≤2．
点评 本题主要考查了反比例函数和二次函数的综合知识，利用条件来确定b，c的值或数量关系是解题的关键．
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| A． | $\left\{\begin{array}{l}{\frac{x}{3}+\frac{y}{4}=\frac{54}{60}}\\{\frac{x}{5}+\frac{y}{4}=\frac{42}{60}}\end{array}\right.$ | B． | $\left\{\begin{array}{l}{\frac{x}{3}+\frac{y}{4}=\frac{54}{60}}\\{\frac{x}{4}+\frac{y}{5}=\frac{42}{60}}\end{array}\right.$ | ||
| C． | $\left\{\begin{array}{l}{\frac{x}{3}+\frac{y}{4}=54}\\{\frac{x}{5}+\frac{y}{4}=42}\end{array}\right.$ | D． | $\left\{\begin{array}{l}{\frac{x}{3}+\frac{y}{4}=54}\\{\frac{x}{4}+\frac{y}{5}=42}\end{array}\right.$ |
如图，大正方形的边长为m，小正方形的边长为n，若用x、y表示四个相同长方形的两边长（x＞y），给出以下关系式：①x+y=m；②x-y=n；③xy=$\frac{{m}^{2}-{n}^{2}}{4}$． 其中正确的关系式的个数有（ ）
直线y=$\frac{1}{2}$x+2交x轴于A，交y轴于B，P点从A点出发沿射线AO运动，同时Q从B点出发沿射线OB方向运动，速度均为1个单位/秒