Question

8．直线y=$\frac{1}{2}$x+2交x轴于A，交y轴于B，P点从A点出发沿射线AO运动，同时Q从B点出发沿射线OB方向运动，速度均为1个单位/秒
（1）当时间t=3s时，求S_△PBQ？
（2）当S_△PBQ=$\frac{5}{2}$时，求运动的时间t；
（3）点P在线段OA上运动的过程中是否存在时间t，使S_△PBQ最大？若存在，求t的值；若不存在，试说明理由．

Answer 1

分析 （1）首先求出AO的长度是多少；然后分别求出BQ、AP的长度，再根据S_△PBQ=BQ•OP÷2，求出S_△PBQ的值是多少即可．
（2）根据题意，分两种情况：①当点P在AO上时；②当点P在x轴正半轴上时；然后分别求出0P、BQ的长度，根据S_△PBQ=BQ•OP÷2=$\frac{5}{2}$，求出运动的时间t是多少即可．
（3）点P在线段OA上运动的过程中存在时间t，使S_△PBQ最大．当点P在线段OA上运动时，0≤t≤4，应用配方法，可得S_△PBQ=-$\frac{1}{2}$（t-2）²+2，据此判断出t=2时，S_△PBQ最大即可．

解答 解：（1）如图1，

∵直线y=$\frac{1}{2}$x+2交x轴于A，交y轴于B，
∴A（-4，0）、B（0，2），
∴AO=4，
∵t=3，
∴BQ=1×3=3，AP=1×3=3，
∴S_△PBQ=BQ•OP÷2=3×（4-3）÷2=1.5．

（2）①如图2，

当点P在AO上时，
∵S_△PBQ=$\frac{5}{2}$，
∴（4-t）t÷2=$\frac{5}{2}$，
整理，可得
t²-4t+5=0，
∵△=4²-4×5=-4＜0，
∴方程无解．
②如图3，

当点P在x轴正半轴上时，
∵S_△PBQ=$\frac{5}{2}$，
∴（t-4）t÷2=$\frac{5}{2}$，
整理，可得
t²-4t-5=0，
解得t=5或t=-1（舍去），
∴当S_△PBQ=$\frac{5}{2}$时，运动的时间t=5s．
综上，可得当S_△PBQ=$\frac{5}{2}$时，运动的时间t=5s．

（3）点P在线段OA上运动的过程中存在时间t，使S_△PBQ最大．
如图4，

点P在线段OA上运动时，0≤t≤4，
∵S_△PBQ=（4-t）t÷2=-$\frac{1}{2}$（t-2）²+2，
∴t=2时，S_△PBQ最大=2，
∴点P在线段OA上运动的过程中存在时间t=2s，使S_△PBQ最大是2．

点评 （1）此题主要考查了一次函数综合题，考查了分析推理能力，考查了数形结合思想的应用，考查了从已知函数图象中获取信息，并能利用获取的信息解答相应的问题的能力．
（2）此题还考查了行程问题中各个量之间的关系：速度×时间=路程，路程÷时间=速度，路程÷速度=时间，要熟练掌握．