Question

14．如图，已知在Rt△ABC中，∠C=90°，它的三边长分别为a，b，c，对于同一个角A的正弦，余弦存在关系式sin²A+cos²A=1，试说明．
（1）在横线上填上适当内容；
解：∵sinA=$\frac{a}{c}$，cosA=$\frac{b}{c}$．
∴sin²A+cos²A=$\frac{{a}^{2}+{b}^{2}}{c}$，
∵a²+b²=c²，∴sin²A+cos²A=1．
（2）若∠α为锐角，利用（1）的关系式解决下列问题．
①若sinα=$\frac{4}{5}$，求cosα的值；
②若sinα+cosα=$\frac{3}{2}$，求sinαcosα的值．

Answer 1

分析 （1）根据正余弦的定义得到sinA=$\frac{a}{c}$，cosA=$\frac{b}{c}$，则sin²A+cos²A=$\frac{{a}^{2}+{b}^{2}}{{c}^{2}}$，然后利用勾股定理可得sin²A+cos²A=1；
（2）①利用cosα=$\sqrt{1-si{n}^{2}A}$进行计算；
②把sinα+cosα=$\frac{3}{2}$两边平方得到sin²α+2sinαcosα+cos²α=$\frac{9}{4}$，然后利用sin²α+cos²α=1得到1+2sinαcosα=$\frac{9}{4}$，则易得sinαcosα=$\frac{5}{8}$．

解答 解：（1）∵sinA=$\frac{a}{c}$，cosA=$\frac{b}{c}$．
∴sin²A+cos²A=$\frac{{a}^{2}+{b}^{2}}{{c}^{2}}$，
∵a²+b²=c²，
∴sin²A+cos²A=1；
（2）①∵sinα=$\frac{4}{5}$，
∴cosα=$\sqrt{1-si{n}^{2}A}$=$\sqrt{1-（\frac{4}{5}）^{2}}$=$\frac{3}{5}$；
②∵sinα+cosα=$\frac{3}{2}$，
∴（sinα+cosα）²=$\frac{9}{4}$，
∴sin²α+2sinαcosα+cos²α=$\frac{9}{4}$，
∵sin²α+cos²α=1，
∴1+2sinαcosα=$\frac{9}{4}$，
∴sinαcosα=$\frac{5}{8}$．
故答案为$\frac{a}{c}$，$\frac{b}{c}$，$\frac{{a}^{2}+{b}^{2}}{{c}^{2}}$．

点评 本题考查了同角三角函数的关系：平方关系：sin²A+cos²A=1；（2）正余弦与正切之间的关系（积的关系）：一个角的正切值等于这个角的正弦与余弦的比，即tanA=$\frac{sinA}{cosA}$或sinA=tanA•cosA．