题目内容
8．
如图，在平面直角系中，点A、B分别在x轴、y轴上，A（8，0），B（0，6），点P从点B出发，沿BA以每秒1个单位的速度向点A运动，点Q从点A出发，沿AO以每秒1个单位的速度向点O运动，点P、Q同时出发，当点Q到达点O时，两点同时停止运动，设点Q的运动时间为t秒．（1）连接PQ，过点Q作QC⊥AO交AB于点C，用含t的代数式表示C点坐标；
（2）在整个运动过程中，当t为何值时，△CPQ为等腰三角形？
分析 （1）证明△ACQ∽△ABO，列比例式求CQ的长，表示点C的坐标为（8-t，$\frac{3}{4}$t）；
（2）分情况进行讨论：
①当CP=CQ时，如图1，根据PC=CQ列式解出；
②当CP=PQ时，如图2，过P作PD⊥CQ于D，根据AP=$\frac{1}{2}$AC列式解出；
③当CQ=CP时，如图3，根据AP的长，利用两种算法列式；
④当CQ=PQ时，如图4，利用同角的三角函数求CE和EP的长，根据AC=CP+AP=$\frac{5}{4}$t，列式解出．
解答 
解：（1）由题意得：AQ=BP=t，
∴OQ=OA-AQ=8-t，
∵CQ⊥AO，BO⊥AO，
∴CQ∥BO，
∴△ACQ∽△ABO，
∴$\frac{CQ}{BO}=\frac{AQ}{AO}$，
∴$\frac{CQ}{6}=\frac{t}{8}$，
∴CQ=$\frac{3}{4}$t，
∴C（8-t，$\frac{3}{4}$t）；
（2）①当CP=CQ时，如图1，
在Rt△ACQ中，AC=$\sqrt{C{Q}^{2}+A{Q}^{2}}$=$\sqrt{（\frac{3}{4}t）^{2}+{t}^{2}}$=$\frac{5}{4}$t，
在Rt△AOB中，AB=10，
∴PC=AB-PB-AC=10-t-$\frac{5}{4}$t，
∴$\frac{3}{4}$t=10-t-$\frac{5}{4}$t，
t=$\frac{10}{3}$，
②当CP=PQ时，如图2，过P作PD⊥CQ于D，
∴CD=DQ，
∵PD∥AQ，
∴CP=PA，
由①得：AC=$\frac{5}{4}$t，
∴AP=$\frac{1}{2}$AC=$\frac{5}{8}$t，
∴$\frac{5}{8}t$=10-t，
t=$\frac{80}{13}$，
③当CQ=CP时，如图3，
∵CQ=CP=$\frac{3}{4}$t，
∴AP=AC-CP=$\frac{5}{4}$t-$\frac{3}{4}$t=$\frac{t}{2}$，
∴$\frac{t}{2}$=10-t，
t=$\frac{20}{3}$；
④当CQ=PQ时，如图4，
过Q作QE⊥AB于E，
cos∠QCA=cos∠OBA，
∴$\frac{BO}{AB}=\frac{CE}{CQ}$，
∴$\frac{6}{10}=\frac{CE}{\frac{3}{4}t}$，
∴CE=$\frac{9}{20}t$，
∴CE=PE=$\frac{9}{20}t$，
∵AC=CP+AP=$\frac{5}{4}$t，
∴$\frac{9}{20}t$+$\frac{9}{20}t$+10-t=$\frac{5}{4}$t，
t=$\frac{200}{27}$；
综上所述，当t为$\frac{10}{3}$或$\frac{80}{13}$或$\frac{20}{3}$或$\frac{200}{27}$时，△CPQ为等腰三角形．
点评 本题考查了等腰三角形的性质和判定、坐标与图形性质、三角形相似的性质和判定、三角函数等，对于动点问题，要先确定动点的路线、速度、时间，确定其路程是关键，即表示对应线段的长；并采用了分类讨论的思想确定等腰三角形时t的时间，本题容易漏解，要全方面考虑．
黄冈小状元同步计算天天练系列答案
| A． | $sin{60°}=\frac{1}{2}$ | B． | $tan{60°}=\sqrt{3}$ | C． | $sin{45°}=\frac{{\sqrt{3}}}{2}$ | D． | $cos{30°}=\frac{1}{2}$ |
如图，在平面直角坐标系中，四边形ABCD是平行四边形，线段AD=6，二次函数y=-$\frac{1}{2}$x2-$\frac{1}{6}$x+4与y轴交于A点，与x轴分别交于B点、E点（B点在E点的左侧）