如图.在平面直角坐标系中.四边形ABCD是平行四边形.线段AD=6.二次函数y=-$\frac{1}{2}$x2-$\frac{1}{6}$x+4与y轴交于A点.与x轴分别交于B点.E点(1)分别求A.B.E点的坐标,(2)连接AE.OD.请判断△AOE与△AOD是否相似并说明理由,(3)若点M在平面直角坐标系内.则在直线AB上是否存在点F.使以A.C.F.M为顶点的四边形为菱形?若存在.直接� 题目和参考答案——青夏教育精英家教网—

题目内容

17．

如图，在平面直角坐标系中，四边形ABCD是平行四边形，线段AD=6，二次函数y=-$\frac{1}{2}$x²-$\frac{1}{6}$x+4与y轴交于A点，与x轴分别交于B点、E点（B点在E点的左侧）
（1）分别求A、B、E点的坐标；
（2）连接AE、OD，请判断△AOE与△AOD是否相似并说明理由；
（3）若点M在平面直角坐标系内，则在直线AB上是否存在点F，使以A、C、F、M为顶点的四边形为菱形？若存在，直接写出F点的坐标，若不存在，请说明理由．

分析（1）分别将x=0和y=0代入可求得A、B、E点的坐标；
（2）根据坐标求出AO和OE的长，将两个直角三角形对应小直角边计算比值为$\frac{3}{2}$，对应大直角边计算比值也是$\frac{3}{2}$，所以根据两边对应成比例，且夹角相等，所以两三角形相似；
（3）只需要满足△ACF为等腰三角形，即可找到对应的菱形，所以构建△ACF为等腰三角形有四种情况：①以A为圆心画圆，交直线AB于F₁、F₂，②作AC的中垂线交直线AB于F₃，③以C为圆心，以AC为半径，画圆交直线AB于F₄，利用勾股定理列式可求得点F的坐标．

解答解：（1）当x=0时，y=4，
∴A（0，4），
当y=0时，-$\frac{1}{2}$x²-$\frac{1}{6}$x+4=0，
2x²+x-24=0，
（x+3）（3x-8）=0，
x₁=-3，x₂=$\frac{8}{3}$，
∴B（-3，0），E（$\frac{8}{3}$，0）；
（2）△AOE与△AOD相似，理由是：
∵A（0，4），
∴OA=4，
∵E（$\frac{8}{3}$，0），
∴OE=$\frac{8}{3}$，
∴$\frac{AO}{OE}$=$\frac{4}{\frac{8}{3}}$=$\frac{3}{2}$，$\frac{AD}{AO}=\frac{6}{4}$=$\frac{3}{2}$，
∴$\frac{AO}{OE}=\frac{AD}{AO}$，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，
∵BC⊥AO，
∴AD⊥AO，
∴∠OAD=∠AOE=90°，
∴△AOE∽△DAO，
（3）如图2，在Rt△AOC中，AC=4，OC=3，
∴AC=5，
同理AB=5，
∴△ABC是等腰三角形，
∴当F与B重合时，存在A、C、F、M为顶点的四边形为菱形，
即F₁（-3，0），
当AF₂=AB=5时，△AF₂C是等腰三角形，存在A、C、F、M为顶点的四边形为菱形，
此时F₂与B关于点A对称，
∴F₂（3，8），
设直线AB的解析式为：y=kx+b，
把A（0，4），B（-3，0）代入得：$\left\{\begin{array}{l}{-3k+b=0}\\{b=4}\end{array}\right.$，
解得：$\left\{\begin{array}{l}{k=\frac{4}{3}}\\{b=4}\end{array}\right.$，
∴直线AB的解析式为：y=$\frac{4}{3}$x+4，
如图2，作AC的中垂线l，交直线AB于F₃，连接F₃C，分别过A、F₃作x轴、y轴的平行线，交于H，HF₃交x轴于G，
则AF₃=F₃C，
设F₃（x，$\frac{4}{3}$x+4），
则$A{H}^{2}+{F}_{3}{H}^{2}$=$C{G}^{2}+{F}_{3}{G}^{2}$，
（-x）²+（4-$\frac{4}{3}$x-4）²=（-$\frac{4}{3}$x-4）²+（-x+3）²，
x=-$\frac{75}{14}$，
当x=-$\frac{75}{14}$时，y=$\frac{4}{3}$×$（-\frac{75}{14}）$+4=-$\frac{22}{7}$，
∴F₃（-$\frac{75}{14}$，-$\frac{22}{7}$）；
如图3，以C为圆心，以AC为半径，画圆交直线AB于F₄，过F₄作F₄P⊥x轴于P，则AC=F₄C，
设F₄（x，$\frac{4}{3}$x+4），
则${3}^{2}+{4}^{2}=（\frac{4}{3}x+4）^{2}+（-x+3）^{2}$，
$\frac{25}{9}{x}^{2}+\frac{14}{3}x$=0，
25x²+42x=0，
x（25x+42）=0，
x₁=0（舍），x₂=-$\frac{42}{25}$，
当x=-$\frac{42}{25}$时，y=$\frac{44}{25}$，
∴F₄（-$\frac{42}{25}$，$\frac{44}{25}$），
综上所述，F点的坐标为：F₁（-3，0），F₂（3，8），F₃（-$\frac{75}{14}$，-$\frac{22}{7}$），F₄（-$\frac{42}{25}$，$\frac{44}{25}$）．