Question

9．如图，在△ABC中，AC=BC，∠ACB=90°，延长BC到D，使BD=BA，BE⊥AD于点E，交AC于点F．
（1）求证：BF=2AE；
（2）若CD=1，求AC的长．

Answer 1

分析 （1）由BD=BA，BE⊥AD就可以得出AD=2AE．再根据条件证明△ACD≌△BCF就可以得出AD=BF，进而得出结论；
（2）设BD=x，则BC=AC=x-1，在Rt△ACD中由勾股定理求出x的值即可．

解答 解：（1）∵BD=BA，BE⊥AD，
∴AD=2AE．∠BED=90°．
∴∠D+∠DBE=90°，
∵∠ACB=90°，
∴∠ACD=90°，
∴∠ACD=∠ACB．∠D+∠DAC=90°，
∴∠DAC=∠DBE．
在△ACD和△BCF中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠DAC=∠DBE}\\{AC=BC}\\{∠ACD=∠ACB}\end{array}\right.$，
∴△ACD≌△BCF（ASA），
∴AD=BF，
∴BF=2AE；
（2）设BD=x，则BC=AC=x-1，由勾股定理，得
2（x-1）²=x²，
解得：x=2±$\sqrt{2}$．
∵x-1≥0，
∴x≥1．
∴x=2+$\sqrt{2}$．
∴AC=2+$\sqrt{2}$-1=1+$\sqrt{2}$．

点评 本题考查了等腰三角形的性质的运用，全等三角形的判定及性质的运用，勾股定理的运用．解答时证明三角形全等是关键．