Question

6．如图，已知A（$2\sqrt{3}$，2）、B（$2\sqrt{3}$，1），将△AOB绕着点O逆时针旋转，使点A旋转到点A′（-2$\sqrt{2}$，2$\sqrt{2}$）的位置，则图中阴影部分的面积为$\frac{7}{8}π$．

Answer 1

分析 由A（2$\sqrt{3}$，2）旋转到点A′（-2，2$\sqrt{2}$），易得旋转角为105°，求出OA和OB，根据旋转的性质可得，阴影部分的面积等于S_扇形A'OA-S_扇形C'OC，从而求出答案．

解答 解：（1）∵A（$2\sqrt{3}$，2）、A′（-2$\sqrt{2}$，2$\sqrt{2}$），
∴∠A′OA=45°+60°=105°，
∵将△AOB绕着点O逆时针旋转，使点A（2$\sqrt{3}$，2）旋转到点A′（-2，2$\sqrt{2}$）的位置，B旋转到点B′位置，
∴∠A′OA=∠B′OB=105°，
∵B（2$\sqrt{3}$，1），A′（-2$\sqrt{2}$，2$\sqrt{2}$），
∴B′点坐标为（-2$\sqrt{2}$+1，2$\sqrt{2}$）；

（2）如图，设$\widehat{BB′}$交OA′于C′，
∵A（2$\sqrt{3}$，2）、B（2$\sqrt{3}$，1），
∴OA=4，OC=OB=$\sqrt{13}$．
根据旋转的性质可得，S_△OB′C′=S_△OBC，
∴阴影部分的面积=S_扇形A'OA-S_扇形C'OC=$\frac{105π•{4}^{2}}{360}$-$\frac{105π•（\sqrt{13}）^{2}}{360}$=$\frac{7}{8}$π，
故答案为：$\frac{7}{8}$π．

点评 此题主要考查了扇形的面积计算及旋转的性质，解答本题的关键是根据旋转的性质得出S_OB′C′=S_OBC，从而得到阴影部分的表达式．