Question

11．如图，正方形ABCD与正方形AEFG起始时互相重合，现将正方形AEFG绕点A逆时针旋转，设旋转角∠BAE=α（0°＜α＜360°），则当正方形的顶点F落在正方形的对角线AC或BD所在直线上时，α=60°或180°或300°．

Answer 1

分析 分点F在BD上和点F在AC上两种情况考虑：①当点F在BD上时，设正方形ABCD的边长为2a，根据正方形的性质可得出AO和AF的长，在通过解直角三角形可得出∠OAF=60°，进而可得出α的值；②由点C、A、F三点共线，可得出B、A、E三点共线，由此得出∠BAE=180°．综上即可得出结论．

解答 解：依照题意画出图形，如图所示．
①当点F在BD上时：令AC、BD的交点为O，设正方形ABCD的边长为2a，
则AC=AF=2$\sqrt{2}$a，AO=$\frac{1}{2}$AC=$\sqrt{2}$a．
∵四边形ABCD为正方形，
∴AC⊥BD，∠BAC=∠DAC=∠EAF=45°，
∴∠AOF=90°．
在Rt△AOF中，AO=$\sqrt{2}$a，AF=2$\sqrt{2}$a，
∴cos∠OAF=$\frac{AO}{AF}$=$\frac{1}{2}$，
∴∠OAF=60°，
∴α=∠OAF=60°或α=360°-∠OAF=300°；
②当点F在AC上时，
∵C、A、F三点共线，∠EAF=∠BAC=45°，
∴B、A、E三点共线，
∴α=∠BAE=180°．
综上可知：当正方形的顶点F落在正方形的对角线AC或BD所在直线上时，α=60°或180°．
故答案为：60°或180°或300°．

点评 本题考查了旋转的性质以及正方形的性质，解题的关键是分点F在BD上和点F在AC上两种情况考虑．本题属于中档题，难度不大，解决该题型题目时，利用旋转的性质找出相等的边角关系是关键．