在平面直角坐标系xOy中.点A为平面内一点.给出如下定义:过点A作AB⊥y轴于点B.作正方形ABCD.即称正方形ABCD为以A为圆心.OA为半径的⊙A的“友好正方形．(1)如图1.若点A的坐标为(1.1).则⊙A的半径为$\sqrt{2}$．(2)如图2.点A在双曲线y=$\frac{1}{x}$上.它的横坐标是2.正方形ABCD是⊙A的“友好正方形 .试判断点C� 题目和参考答案——青夏教育精英家教网—

题目内容

17．在平面直角坐标系xOy中，点A为平面内一点，给出如下定义：过点A作AB⊥y轴于点B，作正方形ABCD（点A、B、C、D顺时针排列），即称正方形ABCD为以A为圆心，OA为半径的⊙A的“友好正方形”．
（1）如图1，若点A的坐标为（1，1），则⊙A的半径为$\sqrt{2}$．
（2）如图2，点A在双曲线y=$\frac{1}{x}$（x＞0）上，它的横坐标是2，正方形ABCD是⊙A的“友好正方形”，试判断点C与⊙A的位置关系，并说明理由．
（3）如图3，若点A是直线y=-x+2上一动点，正方形ABCD为⊙A的“友好正方形”，且正方形ABCD在⊙A的内部时，请直接写出点A的横坐标m的取值范围．

分析（1）如图1中，连接OA．在Rt△AOB中，利用勾股定理求出OA即可．
（2）求出⊙A的半径以及AC的长，即可判断，当AC=OA时，点C在⊙A上，当AC＞OA时，点C在⊙A外，当AC＜OA时，点C在⊙A内．
（3）由题意可知点C（0，2），根据AC＜OA，即可即可问题，注意m≠0．

解答解：（1）如图1中，连接OA．

∵A（1，1），AB⊥y轴，
∴AB=OB=1，∠ABO=90°，
∴OA=$\sqrt{A{B}^{2}+O{B}^{2}}$=$\sqrt{{1}^{2}+{1}^{2}}$=$\sqrt{2}$，
∴⊙A的半径为$\sqrt{2}$．
故答案为$\sqrt{2}$；

（2）如图2中，

∵A（2，$\frac{1}{2}$），∴O A=$\sqrt{4+\frac{1}{4}}=\frac{{\sqrt{17}}}{2}$
∵AC=$2\sqrt{2}$=$\frac{{4\sqrt{2}}}{2}$=$\frac{{\sqrt{32}}}{2}$
∴O A＜A C，
∴点C在⊙A外．
（或如图，利用勾股定理直观分析：∵OB＜BC，AB=AB，∴O A＜A C也可以）

（3）如图3中，

∵点A是直线y=-x+2上一动点，直线与坐标轴是夹角为45°，
又∵四边形ABCD是正方形，
∴点C（0，2），
∴当AC＜OA时，正方形ABCD在⊙A内部，
∵AC=OA时，点A（1，1），
∴m＜1时，AC＜OA，
∵m=0时，正方形不存在，
∴m＜1且m≠0时，正方形ABCD在⊙A内部．

点评本题考查圆综合题、正方形的性质、反比例函数的性质、一次函数的应用等知识，解题的关键是理解题意，掌握当AC=OA时，点C在⊙A上，当AC＞OA时，点C在⊙A外，当AC＜OA时，点C在⊙A内，属于中考压轴题．

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