Question

如图，小明想测山高和索道的长度．他在B处仰望山顶A，测得仰角∠B=31°，再往山的方向（水平方向）前进80m至索道口C处，沿索道方向仰望山顶，测得仰角∠ACE=39°．
（1）求这座山的高度（小明的身高忽略不计）；
（2）求索道AC的长（结果精确到0.1m）．
（参考数据：tan31°≈

3

5

，sin31°≈

1

2

，tan39°≈

9

11

，sin39°≈

7

11

）

Answer 1

考点：解直角三角形的应用-仰角俯角问题

专题：几何图形问题,数形结合

分析：（1）过点A作AD⊥BE于D，设山AD的高度为（x）m，在Rt△ABD和Rt△ACD中分别表示出BD和CD的长度，然后根据BD-CD=80m，列出方程，求出x的值；
（2）在Rt△ACD中，利用sin∠ACD=

AD

AC

，代入数值求出AC的长度．

解答：解：（1）过点A作AD⊥BE于D，
设山AD的高度为（x）m，
在Rt△ABD中，
∵∠ADB=90°，tan31°=

AD

BD

，
∴BD=

AD

tan31°

≈

x

3 5

=

5

3

x，
在Rt△ACD中，
∵∠ADC=90°，tan39°=

AD

CD

，
∴CD=

AD

tan39°

≈

x

9 11

=

11

9

x，
∵BC=BD-CD，
∴

5

3

x-

11

9

x=80，
解得：x=180．
即山的高度为180米；

（2）在Rt△ACD中，∠ADC=90°，
sin39°=

AD

AC

，
∴AC=

AD

sin39°

=

180

7 11

≈282.9（m）．
答：索道AC长约为282.9米．

点评：本题考查了解直角三角形的应用，解答本题关键是利用仰角构造直角三角形，利用三角函数的知识表示出相关线段的长度．