Question

6．如图，O是边长为a的正方形ABCD的中心，将一块半径足够长、圆心为直角的扇形纸板的圆心放在O点处，并将纸板的圆心绕O旋转，则正方形ABCD被纸板覆盖部分的面积为（　　）

• A． $\frac{1}{3}$a²
• B． $\frac{1}{4}$a²
• C． $\frac{1}{2}$a²
• D． $\frac{1}{4}$a

Answer 1

分析 扇形的半径交AD于E，交CD于F，连结OD，如图，利用正方形的性质得OD=OC，∠COD=90°，∠ODA=∠OCD=45°，再利用等角的余角相等得到∠EOD=∠FOC，于是可证明△ODE≌△OCF，得到S_△ODE=S_△OCF，所以S_阴影部分=S_△DOC=$\frac{1}{4}$S_{正方形ABCD}=$\frac{1}{4}$a²．

解答 解：扇形的半径交AD于E，交CD于F，连结OD，如图，
∵四边形ABCD为正方形，
∴OD=OC，∠COD=90°，∠ODA=∠OCD=45°，
∵∠EOF=90°，即∠EOD+∠DOF=90°，
∠DOF+∠COF=90°，
∴∠EOD=∠FOC，
在△ODE和△OCF中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠ODE=∠OCF}\\{OD=OC}\\{∠EOD=∠COF}\end{array}\right.$，
∴△ODE≌△OCF，
∴S_△ODE=S_△OCF，
∴S阴影部分=S_△DOC=$\frac{1}{4}$S_{正方形ABCD}=$\frac{1}{4}$a²．
故选B．

点评 本题考查了旋转的性质：对应点到旋转中心的距离相等；对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角；旋转前、后的图形全等．也考查了正方形的性质．