题目内容
1．
如图，在直角坐标系中，O是坐标原点，点C的坐标是（0，3），抛物线y=-x2+2x+c经过点C，交x轴负半轴于点A．（1）求c的值，并写出抛物线解析式；
（2）将△AOC绕点O顺时针旋转90°，得到△A′OC′．
①求点C′的坐标，并通过计算判断点C′是否在抛物线上；
②若将抛物线向下平移m个单位，使平移后得到的抛物线顶点落在△A′OC′的内部（不包括△A′OC′的边界），求m的取值范围（直接写出答案即可）．
分析 （1）直接将C点坐标代入抛物线解析式进而得出答案；
（2）①首先利用旋转的性质得出C点坐标，再利用抛物线上点的坐标性质得出答案；
②首先得出抛物线顶点坐标，再利用待定系数法求出直线A′C′的解析式，进而利用直线上点的坐标性质得出m的取值范围．
解答 解：（1）把C（0，3）代入y=-x2+2x+c，
解得：c=3，
故抛物线解析式为：y=-x2+2x+3；
（2）①∵OC=3，∴OC′=3，
∴C′坐标为（3，0），
当x=3时，y=-x2+2x+3=0，
∴点C′在抛物线上；
②如图：∵y=-x2+2x+3
=-（x2-2x）+3
=-（x-1）2+4，
∴抛物线的顶点坐标为：（1，4），
∵C′坐标为（3，0），对称轴为直线x=1，
∴A点坐标为：（-1，0），
∴A′点坐标为：（0，1），
设直线A′C′的解析式为：y=kx+b，
则$\left\{\begin{array}{l}{b=1}\\{3k+b=0}\end{array}\right.$，
解得：$\left\{\begin{array}{l}{k=-\frac{1}{3}}\\{b=1}\end{array}\right.$，
故直线A′C′的解析式为：y=-$\frac{1}{3}$x+1，
∵将抛物线向下平移m个单位，使平移后得到的抛物线顶点落在△A′OC′的内部（不包括△A′OC′的边界），
∴当x=1时，抛物线平移到E点，y=-$\frac{1}{3}$x+1=$\frac{2}{3}$，则m=4-$\frac{2}{3}$=3$\frac{1}{3}$，
∴m的取值范围为：3$\frac{1}{3}$＜m＜4．
点评 此题主要考查了函数图象上点的坐标性质以及待定系数求一次函数解析式以及配方法求二次函数顶点坐标和平移的性质等知识，求出直线A′C′的解析式是解题关键．
如图，O是边长为a的正方形ABCD的中心，将一块半径足够长、圆心为直角的扇形纸板的圆心放在O点处，并将纸板的圆心绕O旋转，则正方形ABCD被纸板覆盖部分的面积为（ ）| A． | $\frac{1}{3}$a2 | B． | $\frac{1}{4}$a2 | C． | $\frac{1}{2}$a2 | D． | $\frac{1}{4}$a |
如图，D、E分别为△ABC的AC，BC边的中点，将此三角形沿DE折叠，若∠CDE=48°，则∠ADP等于（ ）| A． | 42° | B． | 48° | C． | 84° | D． | 58° |
如图：AB⊥BC，DC⊥BC，E在BC上，AB=EC，BE=CD，EF⊥AD于F，求证：F是AD中点．