Question

1．如图，矩形ABCD的对角线相交于点O，PD∥AC，PC∥BD．
（1）求证：四边形OCPD是菱形；
（2）若∠ACD=30°，菱形OCPD的面积为9$\sqrt{3}$，求AC的长；
（3）若将题设中“矩形ABCD”这一条件改为“菱形ABCD”，其余条件不变，则四边形OCPD是矩形．

Answer 1

分析 （1）由PD∥AC，PC∥BD，易得四边形OCPD是平行四边形，又由矩形ABCD的对角线互相平分且相等，即可得OC=OD，继而证得四边形OCPD是菱形；
（2）由四边形OCPD是菱形；易得S_菱形OCPD=S_△ADC，又由∠ACD=30°，菱形OCPD的面积为9$\sqrt{3}$，即可求得答案；
（3）由PD∥AC，PC∥BD，易得四边形OCPD是平行四边形，又由菱形的对角线互相垂直，即可得AC⊥BD，继而证得四边形OCPD是矩形．

解答 （1）证明：∵PD∥AC，PC∥BD，
∴四边形OCPD是平行四边形，
∵四边形ABCD是矩形，
∴AC=BD，OD=$\frac{1}{2}$BD，OC=$\frac{1}{2}$AC，
∴OC=OD，
∴四边形OCPD是菱形；

（2）解：∵四边形OCPD是菱形；
∴S_△OCD=S_△PCD，
∵OA=OC，
∴S_△OCD=S_△OAD，
∴S_△OAD=S_△PCD，
∴S_菱形OCPD=S_△ADC，
∵∠ACD=30°，
∴AD=$\frac{1}{2}$AC，
∴CD=$\sqrt{A{C}^{2}-A{D}^{2}}$=$\sqrt{3}$AD，
∴$\frac{1}{2}$AD•$\sqrt{3}$AD=9$\sqrt{3}$，
解得：AD=3$\sqrt{2}$，
∴AC=6$\sqrt{2}$；

（3）矩形．
证明：∵PD∥AC，PC∥BD，
∴四边形OCPD是平行四边形，
∵四边形ABCD是菱形，
∴AC⊥BD，
∴∠COD=90°，
∴四边形OCPD是矩形．
故答案为：矩．

点评 此题考查了矩形的性质与判定、菱形的判定与性质以及含30°的直角三角形的性质．注意掌握菱形的对角线互相垂直以及矩形的对角线互相平分且相等．