题目内容
8．
ABPD是一个边长为1的正方形，△DPC是一个直角边长为1的等腰直角三角形，把正方形ABPD和△DPC拼成一个如图所示的直角梯形，E、F分别为线段DP、CP上两个动点（不与D、P、C重合），且DE=CF=x，BE的延长线分别交DF、DC于H、G．（1）求证：①△BPE≌△DPF．②BG⊥DF．
（2）试问：是否存在这样x的值，使得DF和EG互相垂直平分，若存在，请求出x的值；若不存在，请说明理由．
（3）若连结AH，在运动过程中，∠AHB的大小是否发生改变？若改变，请说出是如何变化的；若不改变，请猜想∠AHB的度数，不用说明理由．
分析 （1）①根据正方形和等腰直角三角形的性质得：BP=PD=PC，∠BPE=∠DPF=90°，由DE=CF和等式的性质得：PE=PF，从而得△BPE≌△DPF；
②先根据全等得：∠EBP=∠FDP，再由直角三角形的两锐角互余得：∠EBP+∠BFH=90°，所以BG⊥DF；
（2）如图2，存在，先假设直线BG垂直平分线段DF，连接BD，根据垂直平分线的性质得：BD=BF=$\sqrt{2}$，表示出x=FC=2-$\sqrt{2}$，再利用等腰三角形三线合一的性质证明EH=GH，所以DF也是EG的垂直平分线，此时
DF和EG互相垂直平分；
（3）如图2，根据正方形的角为直角证明A、B、H、D四点共圆，得∠AHB=45°．
解答 
解：（1）①证明：如图1，
∵四边形ABPD是正方形，△DPC是等腰直角三角形，
∴BP=PD=PC，∠BPE=∠DPF=90°，
又∵DE=CF，
∴PE=PF，
∴△BPE≌△DPF；
②∵△BPE≌△DPF，
∴∠EBP=∠FDP，
又∵∠FDP+∠BFH=90°，
∴∠EBP+∠BFH=90°，
∴BG⊥DF；
（2）存在，如图2，
连结BD，若直线BG垂直平分线段DF，
则BF=BD，
∵四边形ABPD是正方形，且AB=1，∴BD=$\sqrt{2}$，
∴BF=BD=$\sqrt{2}$，
∴x=CF=2-$\sqrt{2}$，
此时，∠FBH=∠DBG=$\frac{1}{2}$×45°=22.5°，
∴∠PBH=∠PDF=22.5°，
∵∠PDC=45°，
∴∠PDF=∠CDF=22.5°，
又∵BG⊥DF，
∴EH=GH，
∴直线DF垂直平分线段EG，
∴当x=2-$\sqrt{2}$时，DF和EG互相垂直平分；
（3）∠AHB的大小不改变，∠AHB=45°，理由是：
如图2，∵四边形ABPD是正方形，
∴∠BAD=90°，∠ADB=45°，
∵BG⊥DF，
∴∠DHB=90°，
∴∠BAD+∠DHB=180°，
∴A、B、H、D四点共圆，
∴∠AHB=∠ADB=45°．
点评 本题是四边形的综合题，考查了正方形的性质、等腰直角三角形的性质、全等三角形的性质和判定以及四点共圆的性质和判定，难度适中；以证明两三角形全等为突破口，根据直角三角形的两锐角互余及四点共圆中，同弧所对的圆周角相等为依据，解决此题．
如图，已知AB∥CD，GF分别交AB，CD于点Q，F，EF平分∠GFD，若∠1=40°，求∠BEF的度数．| A． | -6 | B． | -5 | C． | -1 | D． | 1 |
如图，正五边形ABCDE为内接于⊙O的，则∠ABD=72°．