题目内容
10．将Rt△ABO放置在如图所示的平面直角坐标系中，∠A=90°，∠AOB=60°，OB=2$\sqrt{3}$．斜边OB在x轴的正半轴上，点A在第一象限，∠AOB的平分线OC交AB于C．求：（1）点A、点C的坐标；
（2）在x轴上是否存在一点Q，使得以点C、O、Q为顶点的三角形是等腰三角形？若存在，直接写出点Q的坐标；若不存在，说明理由；
（3）过点C作△OCB的高CP，这时△BCP固定，△COP沿x轴正半轴方向以每秒1个单位的速度平移，设运动的总时间为t（0≤t≤2$\sqrt{3}$），△COP与△BCP的重叠部分面积为S，求S与t的函数关系式，并求出S的最大值．
分析 （1）分别过A、C作x轴的垂线，垂足分别为M、N，根据直角三角形的性质可分别求得CN、ON，CM、AM，可求得A、C的坐标；
（2）设Q点坐标为（x，0），可表示出CQ、OQ，分OQ=OC、OQ=CQ、OC=CQ三种情况可分别得出关于x的方程，可求得x，可求得Q点的坐标；
（3）由条件可先求得△COB为等腰三角形，可求得OP和PB，当t=$\sqrt{3}$时，O′P′与PB重合，分0≤t≤$\sqrt{3}$与$\sqrt{3}$＜t≤2$\sqrt{3}$两种情况，分别用t表示出S，根据函数的性质可求得其最大值．
解答 解：（1）如图1，分别过A、C作x轴的垂线，垂足分别为M、N，
∵∠AOB=60°，OC平分∠AOB，
∴∠AOC=∠CON=∠ABO=30°，
∴AO=$\frac{1}{2}$OB=$\frac{1}{2}$×2$\sqrt{3}$=$\sqrt{3}$，ON=NB=$\frac{1}{2}$OB=$\sqrt{3}$，
在Rt△OCN中，CN=ONtan∠CON=$\sqrt{3}$×$\frac{\sqrt{3}}{3}$=1，
∴C（$\sqrt{3}$，1），
在Rt△AOM中，OM=$\frac{1}{2}$OA=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，则AM=OMtan∠AOB=$\frac{\sqrt{3}}{2}$×$\sqrt{3}$=$\frac{3}{2}$，
∴A（$\frac{\sqrt{3}}{2}$，$\frac{3}{2}$）；
（2）假设存在满足条件的Q点，设其坐标为（x，0），
则OQ=|x|，CQ=$\sqrt{（x-\sqrt{3}）^{2}+1}$，且由（1）可求得OC=2，
若△OCQ为等腰三角形，则有三种情况，即OQ=OC、OQ=CQ、OC=CQ，
①当OQ=OC时，则|x|=2，解得x=2或-2，此时Q点坐标为（-2，0）或（2，0），
②当OQ=CQ时，则|x|=$\sqrt{（x-\sqrt{3}）^{2}+1}$，此时方程无解，
③当OC=CQ时，则2=$\sqrt{（x-\sqrt{3}）^{2}+1}$，解得x=0或x=2$\sqrt{3}$，当x=0时，Q与O重合，不符合条件，舍去，故x=2$\sqrt{3}$，此时Q点坐标为（2$\sqrt{3}$，0），
综上可知存在满足条件的Q点，其坐标为（-2，0）或（2，0）或（2$\sqrt{3}$，0）；
（3）由（1）可知△COB为等腰三角形，CP为OB边上的高，
∴OP=PB=$\frac{1}{2}$OB=$\sqrt{3}$，
当△COP移动时，与△BPC的重合部分，如图2中阴影部分所示，
由△COP速度为1，则t时刻阴影部分宽度为PP′，当t=$\sqrt{3}$时，O′P′与 PB重合，
①当0≤t≤$\sqrt{3}$时，则PP′=t，FP′=$\frac{1}{2}$t，
∴P′B=$\sqrt{3}$-t，
在Rt△P′D′B中，P′D′=P′Btan∠ABO=$\frac{\sqrt{3}}{3}$（$\sqrt{3}$-t）=1-$\frac{\sqrt{3}}{3}$t，
∴FB=FP′+P′B=$\frac{1}{2}$t+$\sqrt{3}$-t=$\sqrt{3}$-$\frac{1}{2}$t，
在Rt△BEF中，EF=BFtan∠ABO=$\frac{\sqrt{3}}{3}$（$\sqrt{3}$-$\frac{1}{2}$t）=1-$\frac{\sqrt{3}}{6}$t，
又阴影部分的面积为梯形EFP′D′的2倍，
∴S=S阴影=2S梯形EFP′D′=2×$\frac{1}{2}$（EF+P′D′）•FP′=t-$\frac{\sqrt{3}}{4}$t2=-$\frac{\sqrt{3}}{4}$（t-$\frac{2\sqrt{3}}{3}$）2+$\frac{\sqrt{3}}{3}$，
当t=$\frac{2\sqrt{3}}{3}$时，S有最大值$\frac{\sqrt{3}}{3}$；
②$\sqrt{3}$≤t≤2$\sqrt{3}$时，则OO′=t，
∴O′B=OB-OO′=2$\sqrt{3}$-t，
此时重合部分为以O′B为底边的等腰三角形，
且EF=$\frac{\sqrt{3}}{3}$BF=$\frac{\sqrt{3}}{3}$×$\frac{O′B}{2}$=1-$\frac{\sqrt{3}}{6}$t，
∴S=S阴影=$\frac{1}{2}$O′B•EF=$\frac{\sqrt{3}}{12}$t2-t+$\sqrt{3}$=$\frac{\sqrt{3}}{12}$（t-2$\sqrt{3}$）2，
当$\sqrt{3}$≤t≤2$\sqrt{3}$时，S单调递减，
∴当t=$\sqrt{3}$时，有最大值$\frac{\sqrt{3}}{4}$，
综上可知S与t的关系式为S=$\left\{\begin{array}{l}{-\frac{\sqrt{3}}{4}{t}^{2}+t（0≤t≤\sqrt{3}）}\\{\frac{\sqrt{3}}{12}{t}^{2}-t+\sqrt{3}（\sqrt{3}≤t≤2\sqrt{3}）}\end{array}\right.$，当t=$\frac{2\sqrt{3}}{3}$时，S有最大值$\frac{\sqrt{3}}{3}$．
点评 本题主要考查一次函数的综合问题，涉及知识点有直角三角形的性质、三角函数的定义、等腰三角形的性质、勾股定理、二次函数的性质等．在（1）中作出A、C到x轴的距离求得线段的长是求其坐标的关键，在（2）中注意分三种情况分别讨论，在（3）中确定出重合部分的图形是解题的关键．本题涉及知识点较多，难度较大．
| A． | y=x-1 | B． | y=$\frac{8}{{x}^{2}}$ | C． | y=$\frac{1}{2x}$ | D． | $\frac{y}{x}$=2 |
．（数轴画在横线上）