Question

12．如图，在一张长为5cm，宽为4cm的长方形纸片上，现要剪下一个腰长为3cm的等腰三角形（要求：等腰三角形的一个顶点与长方形的一个顶点重合，其余的两个顶点在长方形的边上），则剪下的等腰三角形的底边的长为3$\sqrt{2}$，2$\sqrt{6}$，$\sqrt{30}$cm．

Answer 1

分析 因为等腰三角形腰的位置不明确，所以分（1）腰长在矩形相邻的两边上，（2）一腰在矩形的宽上，（3）一腰在矩形的长上，三种情况讨论．（1）△AEF为等腰直角三角形，直接利用直接勾股定理求解即可；（2）先利用勾股定理求出AE边上的高BF，再利用勾股定理求出结论；（3）先利用勾股定理求出BF，再利用勾股定理求出底边．

解答 解：分三种情况计算：
（1）当AE=AF=3时，如图：

∴EF=$\sqrt{{3}^{2}+{3}^{2}}$=3$\sqrt{2}$；
（2）当AE=EF=3时，如图：

则BE=4-3=1，
BF=$\sqrt{E{F}^{2}-B{E}^{2}}$=$\sqrt{{3}^{2}-{1}^{2}}$=2$\sqrt{2}$，
∴AF$\sqrt{A{B}^{2}+B{F}^{2}}$=$\sqrt{{4}^{2}+（2\sqrt{2}）^{2}}$=2$\sqrt{6}$；
（3）当AE=EF=3时，如图：

则DE=5-3=2，
DF=$\sqrt{E{F}^{2}-D{E}^{2}}$=$\sqrt{{3}^{2}-{2}^{2}}$=$\sqrt{5}$，
∴AF=$\sqrt{A{D}^{2}+D{F}^{2}}$=$\sqrt{{5}^{2}+（\sqrt{5}）^{2}}$=$\sqrt{30}$，
故答案为：$3\sqrt{2}，2\sqrt{6}，\sqrt{30}$．

点评 本题主要考查矩形的角是直角的性质和勾股定理的运用，要根据三角形的腰长的不确定分情况讨论，有一定的难度．