Question

9．计算：$\sqrt{1+\frac{1}{{1}^{2}}+\frac{1}{{2}^{2}}}$+$\sqrt{1+\frac{1}{{2}^{2}}+\frac{1}{{3}^{2}}}$…$\sqrt{1+\frac{1}{201{3}^{2}}+\frac{1}{201{4}^{2}}}$．

Answer 1

分析 观察几道算式可知，结果的分母为二次根式中两个分母的积，分子比分母大1，由此得出一般规律；将一般规律的结果变形，再将n的值代入寻找抵消规律．

解答 解：∵$\sqrt{1+\frac{1}{{n}^{2}}+\frac{1}{（n+1）^{2}}}$=$\frac{{n}^{2}+n+1}{n（n+1）}=1+\frac{1}{n}-\frac{1}{n+1}$，
∴原式=1+1-$\frac{1}{2}$+1+$\frac{1}{2}$$-\frac{1}{3}$+…+1$+\frac{1}{2013}-\frac{1}{2014}$=2013+1-$\frac{1}{2014}$=2013$\frac{2013}{2014}$．

点评 本题考查了二次根式的化简求值．关键是根据算式发现一般规律，运用一般规律代值计算，寻找算式的抵消规律．