Question

13．如图，直线l₁与坐标轴分别交于点A、B，经过原点的直线l₂与AB交于点C，与过点A且平行于y轴的直线交于点D，已知点C（3，$\frac{5}{2}$），且OA=8．在直线AB上取点P，过点P作y轴的平行线，与CD交于点Q，以PQ为边向右作正方形PQEF．设点P的横坐标为t．
（1）求直线l₁的解析式；
（2）当点P在线段AC上时，试求正方形PQEF与△ACD重叠部分（阴影部分）的面积的最大值．

Answer 1

分析 （1）本题需先根据已知条件，设出直线l₁的解析式再根据C点的坐标和OA的长，求出k与b的值来，即可求出结果．
（2）先根据题意得出P、Q点的坐标，从而解出t的值，然后再分两种情况进行讨论，分别得出S的最大值，及可求出结果．

解答 解：（1）设直线l₁的解析式为y=kx+b，
∵直线l₁与直线l₂交于点C，
又∵OA=8，
∴把C（3，$\frac{5}{2}$），A（8，0）代入上式得：
$\left\{\begin{array}{l}{8k+b=0}\\{3k+b=\frac{5}{2}}\end{array}\right.$，
解得：b=4，k=-$\frac{1}{2}$，
∴直线l₁的解析式为：y=-$\frac{1}{2}$x+4；

（2）点P在线段AC上时，根据题意有：P（t，-$\frac{1}{2}$t+4），Q（t，$\frac{5}{6}$t），
∴PQ=$\frac{5}{6}$t-（-$\frac{1}{2}$t+4）=$\frac{4}{3}$t-4，
当EF在AD上时，t+$\frac{4}{3}$t-4=8，有t=$\frac{36}{7}$，
当3＜t≤$\frac{36}{7}$时，S=（$\frac{4}{3}$t-4）²，
当t=$\frac{36}{7}$时，S_最大=$\frac{400}{49}$，
当 $\frac{36}{7}$≤t≤8时，S=（$\frac{4}{3}$t-4）（8-t）=-2（t-$\frac{11}{2}$）²+$\frac{97}{3}$，
当t=$\frac{11}{2}$时，S最大=$\frac{97}{3}$；
所以，S的最大值为 $\frac{97}{3}$；

点评 本题主要考查了一次函数的综合应用，二次函数的应用，解题的关键是掌握待定系数法确定函数解析式，学会构建二次函数解决最值问题．